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> (4) を使うと、z,xが有理数のとき、yは有理数となりません。

すみません。
よく、意味がわからないので、詳しく説明していただけないでしょうか。

x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)

(an)^{1/(n-1)}は、有理数となるので、xを有理数とすると、zは、有理数となります。
(3)のx,yが整数比とならないので、(4)のyは無理数となります。