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「　『(3)の解で、x,yが有理数のもの』　と同じ比の(4)の解」　と、同じ比の(3)の解は当然x、yが有理数です。

「　『(3)の解で、x,yが無理数のもの』　と同じ比の(4)の解」　と、同じ比の(3)の解は当然x、yが無理数です。

(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおくと、
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^n(s,tは有理数、wは無理数)となる。
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w^n)^n…(A)となるので、
s+n^{1/(n-1)}/w^n=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w^n=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなるので、(B)に代入すると、
(s^n+t^n)^(1/n)=uとなる。
s^n+t^n=u^nが成立するかを、判定するには、x,y,zを有理数として判定すれば良い。

(4)はzを有理数とすると、x,yは整数比とならない。