【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x,y,zは有理数とする。
x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は成立しない。(4)のrは有理数となるが、(3)(4)の解の比は同じとなるので、(4)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。