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どの点が腑に落ちないのでしょうか？
x,y,zを有理数として考えた上で、返答をお願いします。

「z=x+ n^{1/(n-1)}が成立しないならx^n +y^n=z^nも成立しない」この論理は間違っています。
「この論理は間違っています。」の部分です。