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「z=x+ n^{1/(n-1)}が成立しないならx^n +y^n=z^nも成立しない」この論理は間違っています。
腑に落ちない点があればおっしゃってください。

z=x+ n^{1/(n-1)}は、zを、有理数とすると、xは無理数となります。
よって、x^n +y^n=z^nのx,y,zは、整数比となりません。