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根拠はz-x= n^{1/(n-1)が成り立たないことにあります。(左辺が有理数で右辺が無理数)もうひとつの等式x^n +y^n=z^nが成り立つかどうかはわかりません。

(x,y,z)=(s,t,u)のとき、
x^n +y^n=(x+ n^{1/(n-1)})^nの、
z=x+ n^{1/(n-1)}は、z-x= n^{1/(n-1)なので、
z-x= n^{1/(n-1)が成り立たないならば、x^n +y^n=z^nも成り立ちません。