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それでは
x^3+y^3=(x+√3)^3=z^3...(a)を同値変形して
X^3+Y^3=(X+2)^3=Z^3...(b)とします。

(b)に整数比の解が生じないのはなぜですか？

x:y:z=X:Y:Zだからです。