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> 「方程式(3)を満たす(x,y,z)=(s,t,u)は存在しない」ことは、証拠があります。
「(x,y,z)=(sw,tw,uw)が方程式(3)を満たす」ことは、証拠がありません。

ええ、その通りです。矛盾はありません。

「方程式(3)を満たす(x,y,z)=(s,t,u)は存在しない」ならば、自然数解x,y,zが存在しないことになります。
「(x,y,z)=(sw,tw,uw)が方程式(3)を満たすならば、自然数解x,y,zが存在することになります。

結果が矛盾します。どちらかが、正しくて、どちらかが、間違いということになります。