>>316 日高

> (2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
> (3)は、rが無理数なので、x,yは整数比とならない。(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）

いえ，任意の自然数比になります。
x:y=m:n（m,nは自然数）としたければx=mt,y=ntとおいて(3)に代入しm^pt^p+n^pt^p=(mt+p^{1/(p-1)})^p。
展開して整理すればtのp次式だから少なくとも一つの実解をもちます。
「(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）」はここでは関係ないです。