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(p^{1/(p-1)})/wが有理数なのだからこれもtの値を先に決めないといかんでしょ

(4)のrが有理数のとき、(4)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならないので、
s,tどちらの値を先に決めても、s,tは、整数比となりません。

p=2の場合は、y^2と2xとなるので、yを先に決めれば、xが決まります。