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つづき

”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%94%9F%E6%88%90%E5%8A%A0%E7%BE%A4
有限生成加群

有限生成加群（ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module）とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる[1]。

関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。

たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。

定義
左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。

この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像
R^{n}→ M
が存在する（つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である）とき、かつそのときに限る[2]。

加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる（なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである）。

任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。

加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる（well-defined は任意の一次独立な生成集合は n 個の元をもつという意味である。これはベクトル空間の次元定理である）。

つづく