>>543 追加

複素数、４元数、８元数の行列表現
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0
複素数
(抜粋)
行列表現
「実二次正方行列」も参照
複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R2 上での一次変換の表現行列を考えることができる。

対応(a,b ∈R)
a+bi
↓↑
(a,-b
　b,a)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数
(抜粋)
行列表現
複素数が行列で表されたのとまったく同様に、四元数も行列で表すことができる。四元数を行列として表現して、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 2×2 複素行列を用いるもの、いま一つは 4×4 実行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の言葉でいえば、H からそれぞれ全行列環 M2(C) および M4(R) への単射環準同型である。

2×2 複素行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は
(a+bi,c+di
　-c+di,a-bi)
と表現される。この表現は以下のような性質を持つ：

・複素数 (c = d = 0) は対角行列に対応する。
・四元数のノルム（複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根）は対応する行列の行列式の平方根に一致する[21]。
・四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。
・単位四元数に制限すれば、この表現は S3 と SU(2) との間の同型を与える。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である（パウリ行列を参照）。
4×4 実行列を用いれば、同じ四元数は
略

つづく