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xが無理数の場合を見落としています。間違い。

xが無理数の場合は、
x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
p=3,x=m√3,y=n√3とおく。 m,nは有理数とする。
(m√3)^3+(n√3)^3=((m√3+√3)^3
両辺を√3^3で割る。
m^3+n^3=(m+1)^3
m^3+n^3=(m+1)^3の解は、x^+y^3=(x+√3)^3…(3)の解の定数倍となる。
(3)の解が整数比とならないので、m^3+n^3=(m+1)^3の解も、整数比とならない。
となります。