>440
> x=A/√3,y=B/√3とおくと、
> x^3+y^3=(x+√3)^3は、A^3+B^3=(A+3)^3となります。
> この式は、自然数解を持ちません。

最後の文の根拠は何ですか？

A^3+B^3=(A+3)^3のA,Bは、x^3+y^3=(x+√3)^3のx,yの定数倍となるからです。