【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。
よって、
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)が成り立つとも成り立たないとも言えない
(2)でa=(z-y)とおく
{ a=(z-y)
{ (x^p/a)=(z+y)
が成り立つので
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)が成り立つ
(2)が成り立つので、(1),(3)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。