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>(z^p/1)1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(3)

と,　連立方程式
{ z^p=x+y
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}

は違うものです（普通の数学では）。
あなたは、後者に自然数解がないことしか示していません。

連立方程式
{ z^p=x+y
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}に自然数解がないことは、1で示しています。