【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(1)をx^p×1=(z+y)(z-y)…(2)とする。
(2)をx^p=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)を満たす自然数は、z=5、y=4である。
このz,yを、x^p=(z+y)に代入すると、xが自然数のとき、式は成り立つ。
よって、(2)は成り立つ。
(2)が成り立つので、(1)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。