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>kを自然数とし、x^2-y^2=kをみたす自然数x,yを考える。
k=1のとき解はない。kがそれ以外の場合の解x,yはk=1の場合の解x,yと同じ比をなす。
よってx^2-y^2=kには解はない

「kがそれ以外の場合の解x,yはk=1の場合の解x,yと同じ比をなす。」がまちがいです。
x,yはk=1の場合の解x,yと同じ比をなす場合と、なさない場合があります。