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>>元の方程式を、連立方程式の形にして、x,y,zが有理数で成り立つならば、元の方程式も有理数で成り立ちます。

言葉は足りてないが、そこを前提条件で書くものではないのかね？

正式の証明では、そうだと思います。

>また連立方程式への変換が合っている根拠は？

p=2の場合と、pが奇素数の場合の形が同じだからです。

>ついでに言うと「p=4以上の偶数の証明はwikipedia」も書いておかないと省略した理由がわからんよ

理由は、長くなるからです。