>>825 日高
> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
> 【証明】pは奇数なのでx^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と変形できる。
> したがって、z^p×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}となる。
> z^p=A、1=B、(x+y)=C、{x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}=Dとおく。
> AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
> 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}とz^p=(x+y)を共に満たす有理数は、(x,y)=(0,1)、(x,y)=(1,0)のみである。
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

フェルマーの最終定理に反例があったとする。A^p+B^p=C^pをその反例とする。
k={(A+B)/(C^p)}^{1/(p-1)}とおくとこれは有理数とは限らない実数である。
x=kA,y=kB,z=kCとおくとz^p=x^p+y^pが成り立つ。
k^(p-1)C^p=A+Bだから(kC)^p=kA+kBである。つまりz^p=x+yが成り立つ。
z^p×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}だから
1=x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)も成り立つ。
x,yは一般には実数としか言えないので(0,1),(1,0)だけとは言えない。

∴日高氏によるこの定理の証明は誤りである。