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>>x,yの値は、ことなりますが、すべて８となります。
z^p=(2x+5y)(x+3y)になるのは当たり前であろうが。
４つの方程式はそれを場合分けしたものなのだぞ。
その場合場合は別物であろうが。
先にも述べたが、貴方の証明はパターンが足りない。
(左辺)が1でないパターンが考慮されていない。
パターン分けされた(1)の解が、他の(2)〜(4)の解になるのか？
元の
z^p=(2x+5y)(x+3y)
は（少なくとも）４パターンから導かれた４組の解を
解として持つ。
其れを導くためには場合分けが必要だ。
其の証拠に、パターン同士で解が異なるであろう。
貴方の証明は(2)(3)に相当する考察が無い。

(0)8=(2x+5y)(x+3y)
(1)1*8=(2x+5y)(x+3y)、x=-37、y=15(二元連立方程式の解)
(2)2*4=(2x+5y)(x+3y)、x=-14、y=6(二元連立方程式の解)
(3)4*2=(2x+5y)(x+3y)、x=2、y=0(二元連立方程式の解)
(4)8*1=(2x+5y)(x+3y)、x=19、y=-6(二元連立方程式の解)
(0)の解は、(1)の解でも、(2)の解でも、(3)の解でも、(4)の解でもよいです。