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>A=BCならば、C=1、B=Aとなる。
B=(x+y)、C={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}、A=z^2

とおっしゃってます。
与式=1 以外のときも証明を、という問いに対し、
>A=BC ならば、 C=1 とすれば B=A という回答は無意味です。

フェルマーの最終定理の簡単な証明を簡単に説明すると、
z^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}を解けば良いことになります。
zを自然数としても、x,yは、求まりません。
そこで、
z^p*1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}として、zを自然数とすると、
1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}、z^p=z^pの２元連立方程式を解けばよいことになります。
例えば、z=2、p=3の場合、2^3=8ですので、4*2、8*1どちらの２元連立方程式を解いても、同じとなります。(x,yの値は、それぞれ異なりますが、)