>212,213

だから連立方程式を調べてこい、と申している。

>z^(p-1)×z=z^pとなるからです。

だから何だ？
2組の連立方程式
(1-1) z^p=(x+y)
(1-2) 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
と
(2-1) z^(p-1)=(x+y)
(2-2) z={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
とは別物だぞ？
貴方はこれが同じ方程式に見えるのか？
そんなものが成立するのは
1=z=z^2=...=z^p
の場合だけで、整数解{x,y,z}が存在しないことは明らかであろう。

>同じとなります。

p=3,z=2とした場合、次の４つの方程式の解はそれぞれ何になる？

(1) 2x+5y=1と置いた時の、x+3y=z^p
(2) 2x+5y=zと置いた時の、x+3y=z^(p-1)
(3) 2x+5y=z^2と置いた時の、x+3y=z^(p-2)
(4) 2x+5y=z^3と置いた時の、x+3y=z^(p-3)

貴方の主張では、これらの方程式は『全て同じ』なので、同じ解になる筈だ。