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>z^(p-1)×z=z^pとなるので、同じとなります。

貴方は↓これらの式が『全て同じ。』と申すのか?

1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
z={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
z^2={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
...
z^p={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}