【定理】pが奇素数のとき
　　x^p+y^p=z^p ･････①
は、自然数解を持たない。

【証明】
　①をz=x+r とおいて
　　x^p+y^p=(x+r)^p ･････②
とする。
　②を積の形に変形してrを求める。x,y,z,rは有理数と仮定する。②を
　　(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
　　(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
　　r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}･････③
とする。
　③はr^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となるので、②は
　　X^p+Y^p=(X+p^{1/(p-1)})^p ･････④
となる。rは無理数となるので、④は仮定に反する。
　③の右辺に、a(1/a)を掛けると
　　r^(p-1){(y/r)^p-1}=pa{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)･････⑤
となる。a(1/a)=1となる。
　r^(p-1)=p以外の場合は、r^(p-1)=paとなる。r=(pa)^{1/(p-1)}となるのでrは有理数となる。②は
　　X^p+Y^p=(X+(pa)^{1/(p-1)})^p･････⑥
となる。⑥のX,Y,Zは④のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、
　　X:Y:Z=x:y:z
となる。よって、⑥も仮定に反する。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。