【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】p=3,yは有理数とする。x^3+y^3=z^3…①が、有理数解を持つかを検討する。
①をz=x+rとおくと、x^3+y^3=(x+r)^3…②となる。②を積の形に変形してrを求める。
②を(x/r)^3+(y/r)^3=(x/r+1)^3, (y/r)^3-1=3{(x/r)^(3-1)+…+x/r},
r^(3-1){(y/r)^3-1}=3{x^(3-1)+…+r^(3-2)x}…➂とする。
➂はr^(3-1)=3とすると、r=3^{1/(3-1)}となるので、②はx^3+y^3=(x+3^{1/(3-1)})^3…④
となる。
④はxを有理数とすると、zは無理数となる。よって、④,②,①は有理数解を持たない。
rが有理数ならば、④の両辺に(a^{1/(3-1)})^3を掛けた
(xa^{1/(3-1)})^3+(ya^{1/(3-1)})^3=(xa^{1/(3-1)}+(3a)^{1/(3-1)})^3…⑤となる。
⑤をxa^{1/(3-1)}=X, ya^{1/(3-1)}=Y, xa^{1/(3-1)}+(3a)^{1/(3-1)}=Zとおくと、
X:Y:Z=x:y:zとなる。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。