>x,y,zが無理数で、X,Y,Zが有理数であっても何も矛盾はありませんよ。

x,y,zが無理数で、整数比となると仮定すると、無理数dで、割ると、
x/d,y/d,z/dは、有理数となります。
➃x/d,y/d,z/dが、有理数のとき、
z/d=x/d+p^{1/(p-1)}は、x/dを、有理数とすると、z/dは有理数となりません、