【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p = z^p は、自然数解を持たない。

【証明】
r = z - xとおくと、x^p+y^p=(x+r)^p .. (2)となる。
これは r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x} .. (3) と変形できる。

Case A: r^(p-1) = pのとき
式(2)はx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p .. (4) となる。
(3)の右辺に、a(1/a)を掛けるとr^(p-1){(y/r)^p-1}=pa{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a) .. (5)となる。
a(1/a)=1となる。

Case B: r^(p-1) = pでないとき
r^(p-1)=paとなるので、式(2)はx^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p .. (6)となる。
式(6)をX^p+Y^p=(X+(pa)^{1/(p-1)})^pとおくと、式(6)は式(4)の定数倍となるので、X:Y:Z=x:y:zとなる。
式(4)はxを有理数とすると、zは無理数となる。
よって、式(6),(4),(2)は有理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。