>x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pが、xを有理数とすると、zは無理数となると、どうしてx,y,zが、自然数解を持たないの？

xを有理数,yを有理数としたとき、zが無理数となるならば、xを有理数としたときも、
zは無理数となります。

xが有理数、yが有理数、zが無理数ならば、x,y,zは、有理数解を持たないことになります。

x,y,zが有理数解を、持たないならば、自然数解も、持ちません。