>z=x+√3のとき、「ゼロでないどんな実数 a についても積 ax と積 az がともに有理数になることはない」と言えますか？

言えます。

理由は、
aが有理数のとき、xを有理数とすると、zは無理数となるので、axは有理数、
azは、無理数となります。

aが無理数のとき、axは無理数、azは無理数、もしくは、有理数となりますが、
ax,azを、それぞれ、実数aで割ると、x,zとなります。