フェルマーの最終定理の簡単な証明

日高 · 2019/09/23(月) 09:33:36.12

pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^p+y^p=z^pをz=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^pとする。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p=z^pとなる。
xを有理数とすると、zは無理数となる。
∴x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 09:50:21.96

ファルマーの冒険って小説なかったっけ？

日高 · 2019/09/23(月) 10:22:04.56

どこか、
おかしいところが、あるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 10:52:20.95

>r=p^{1/(p-1)}となるので
なんで？

日高 · 2019/09/23(月) 12:05:14.99

x^p+y^p=(x+r)^pの両辺をr^pで割る。
(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 12:46:00.20

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

はなぜですか？

日高 · 2019/09/23(月) 13:24:40.70

わかりやすく、p=3の場合で計算します。
(y/r)^3-1=3{(x/r)^2+x/r}, r^2{(y/r)^3-1}=3(x^2+rx),
r^2=3とすると、r=3^(1/2)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:08:16.60

p=4の時はどうなりますか？

日高 · 2019/09/23(月) 15:22:43.21

r=4^(1/3)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:25:39.37

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

この計算をp=4の場合にもしていただきたいです

日高 · 2019/09/23(月) 16:49:51.72

p=4は、奇素数ではないので、p=5でやります。
(y/r)^5-1=5{(x/r)^(5-1)+...+x/r},
r^(5-1){(y/r)^5-1}=5(x^(5-1)+...+r^(5-2)x},
r^(5-1)=5とすると、r=5^{1/(5-1)}となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 16:53:14.21

(x+y)^5計算してみてください
そのあと、x=y=1としてみてください

日高 · 2019/09/23(月) 17:28:26.90

(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5,
=1+5+10+10+5+1
=32
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 01:23:26.97

>>5
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

ここが理解できない。
r^(p-1)=pとなぜ仮定しちゃってるんですか？？

r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x}
の左辺は有理数×有理数という形になっているので、掛け合わしてる数のいずれかは素数の倍数になるという整数の性質は使えないと思うのですが。
違う論法なんですかね。

ちょっと解説を。

日高 · 2019/09/25(水) 06:19:18.74

言われていることの意味は、例えば、
(4/3)*6=2*4という事でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 21:41:41.34

「r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x}
の左辺は有理数×有理数という形になっているので」

左辺は有理数×有理数とは限りません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 22:45:33.47

>>16
でも自然数×自然数であることの証明はできないわけで。
そうであれば、r^(p-1)=pとは言い切れないような。。

日高 · 2019/09/26(木) 05:39:30.95

「でも自然数×自然数であることの証明はできないわけで。」
これは、どの部分を指しているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 05:49:46.28

r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
の左辺のことです。

r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。
というところがよく分かってなくて。

自分なりの解釈として、左辺が自然数×自然数であることを前提に、どちらかは素数の倍数である。ということからr^(p-1)=pとおいたのかなと見ていたのですが、この解釈は違う感じですかね。

日高 · 2019/09/26(木) 05:57:52.61

r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

「ここが理解できない。
r^(p-1)=pとなぜ仮定しちゃってるんですか？？」

例えば、
AB=CDならば、A=Cとすると、B=Dとなるからです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 06:12:37.00

>>20
レスありがとうございます。

何を前提として仮定として置いているのかとすると
(y/r)^p-1=x^(p-1)+...+r^(p-2)x
と仮定してr^(p-1)=pを導いているのか、それとも逆なのか？どちらでしょうか？

日高 · 2019/09/26(木) 06:56:04.89

r^(p-1)=pとすると、
(y/r)^p-1=x^(p-1)+...+r^(p-2)x
となります。

日高 · 2019/09/26(木) 08:54:19.14

逆もいえます。
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
ならば、
{(y/r)^p-1}={x^(p-1)+...+r^(p-2)x}
のとき、
r^(p-1)=pとなります。

日高 · 2019/09/26(木) 09:08:00.78

分かりにくいと思いますので、
p=2を代入して、試してみてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 12:18:41.11

AB=CDの証明として。

A=Cとすると、B=Dである。
またB=Dとすると、A=Cである。
故にAB=CDとなる。

みたいな話をしようとしてます？
この場合、A=CかB=Dを示さないと証明になってないですよね。そこを聞いてるんですけど。。。

日高 · 2019/09/26(木) 12:48:10.26

AB=CDなので、
A=Cとすると、B=Dとなる。
です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 12:49:44.12

>>26
A=Cが成り立つとなぜ言えるんでしょうか？？
本題ではr^(p-1)=pですけど。。

ID変わってるかもです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 12:51:40.10

> A=Cとすると、B=Dとなる。

A≠Cのときは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 12:53:36.63

あと揚げ足取りになるかもですが。

AB=CDの証明なのに
AB＝CDだからA=C
というのも論理的には成り立っていないですよ。

どんなに考えても、この論法は
有理数×有理数を自然数×自然数と錯覚して証明につなげたようにしか思えません。
それ自体は数学ではしょっちゅうある話ですけど。

日高 · 2019/09/26(木) 13:07:52.77

p=2の場合
r^(p-1)=pは、
r^(2-1)=2となります。
x^2+y^2=(x+2)^2,
x=3, y=4, z=x+2=5
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 13:25:36.98

　あなたの証明がおかしいのは p = 3 の場合、それも途中までを議論すれば十分です。
　まず x、y、z は自然数（もしくは 0 でない有理数）と仮定します。x、y、z のうちどれか1つでも実数ならば
　　x^3 + y^3 = z^3 ･････①
が成り立つからです。したがって①を変形するとき、両辺に実数を掛けてはいけません。実数を掛けて時点で①が成り立ってしまいます。

　x、y、z は 0 でない有理数で
　　x^3 + y^3 = z^3 ･････①
を満たしているとする。z - x は必ず有理数になるから、有理数 r を用いて
　　r = z - x
とおくと
　　x^3 + y^3 = (r+x)^3 ･････②
　②の両辺を有理数 r^3 で割る。
　　(x/r)^3 + (y/r)^3 = (1+x/r)^3
　　(y/r)^3 = 1 + 3(x/r) + 3(x/r)^2 + (x/r)^3 - (x/r)^3
　　　　　　= 1 + 3(x/r) + 3(x/r)^2.
　　(y/r)^3 - 1 = 3{ (x/r) + (x/r)^2 } ･････ ※
　※の両辺に有理数 r^2 を掛ける。
　　r^2{ (y/r)^3 - 1 } = 3(rx + x^2) ･････③
　有理数に四則演算を施した結果はやはり有理数なので③の因数である
　　r^2,　(y/r)^3,　rx,　x^2
は有理数である。したがって有理数 A、B、C、D を用いて
　　A = r^2,　B = (y/r)^3,　rx = C,　D = x^2
とおけば③は
　　A(B-1) = 3(C+D) ･････③'
となるが、この式から A = 3 と断定できない。A ≠ 3 でも③'を満たす有理数は無数に存在する。
　たとえば
　　A = 2/7,　　B = 8,　 C = 1/3,　 D = 1/2
のとき
　　A(B-1) = (2/7)(8-1) = 2
　　3(C+D) = 3(2/3) = 2

日高 · 2019/09/26(木) 15:07:15.02

「この式から A = 3 と断定できない。A ≠ 3 でも③'を満たす有理数は無数に存在する。」

その通りです。③'を満たす有理数は無数に存在するので、そのうちの A = 3を選びます。

それから、D = 1/2は、D=1/3の間違いではないでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 16:51:40.47

> それから、D = 1/2は、D=1/3の間違いではないでしょうか。
　失礼しました。その通りです。

> ③'を満たす有理数は無数に存在するので、そのうちの A = 3 を選びます。
　そういう都合のいい選択では命題を証明する意味がありません。
　A = 3、すなわち r^2 = 3
となってしまい、これを満たす有理数 r が存在しないのは明らかなので、この時点で証明が終わったことになります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 16:52:05.87

A = 3を選んだ場合と、選ばない場合の両方を調べないとダメなので証明は間違い。

日高 · 2019/09/26(木) 17:22:43.01

「③'を満たす有理数は無数に存在するので、そのうちの A = 3 を選びます。」

　理由は、他の数を選んだ場合と、
A = 3を選んだ場合のx,y,zの比は同じだからです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 17:58:14.55

大嘘。証明しろ

日高 · 2019/09/26(木) 18:20:53.37

>大嘘。証明しろ

p=2の場合の例
x^2+y^2=(x+2)^2 (1)
x=3, y=4, z=5

x^2+y^2=(x+1)^2 (2)
x=3/2, y=4/2, z=5/2

(1)と(2)のx,y,zの比は同じです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 18:30:19.70

p=2の場合はピタゴラスの定理が成り立つのだから、例になりません。

　繰り返しますが A = r^2 = 3 を「選んだ」時点で r が有理数でないことは明らかです
から、それでは①の証明にはまったくならないのです。

日高 · 2019/09/26(木) 18:42:41.98

p=2の場合、r=2を選んだ場合と他の数を選んだ場合のx,y,zの比は、同じです。

p=3の場合、r=3^(1/2)を選んだ場合と他の数を選んだ場合のx,y,zの比は、同じです。