>>151 自己解決しました

F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s (s=0,1,...,n-1)

・k についての多項式: (n-2k)^s の次数は n-1 以下である
・Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^t (t = 0,1..., n-1)
　= Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (d/dα)^t e^{kα}　 (α→0)
　=(d/dα)^t Σ{k=0, n} C{n,k} * (- e^{α} )^k　 (α→0)
　=(d/dα)^t (1-e^{α})^n　 (α→0)
　=(d/dα)^t (1-e^{α}).... (1-e^{α}) 　(α→0)
　= 0 (∵ t < n)
よって F(n,s) = 0 (s=0,1,...,n-1) である。
一晩くらい悩んだのに意外と簡単だった。

ついでに F(n,n) の式も求まった。
F(n,n) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^n
= (-2)^n * Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^n
= (-2)^n * (d/dα)^n (1-e^{α}).... (1-e^{α}) 　(α→0)
= (-2)^n * n! * (-e^{α})...(-e^{α}) 　(α→0)
= 2^n * n!