a=b=∞は誤りでした。

式(A)を満たす解が2点ないということを示していて
a=cp^n
2b=c(p^n+…+1)
でなければならないのでn=0のとき
a=2b=c
(a,b,p,n)=(c,c/2,p,0)
これが、式(A)を満たす1点として考えられます。