r, s を正整数,
p, p_i(1≦i≦r), q, q_j(1≦j≦s)を奇素数,
n, e_i(1≦i≦r), m, f_j(1≦j≦s)を正整数,
b_i=p_i^(e_i), a_i=p_i^(e_i)+…+1,
b=Π[i=1,r]b_i, a=Π[i=1,r] a_i,
b'_j=q_j^(f_j), a'_j=q_j^(f_j)+…+1,
b'=Π[j=1,s]b'_j, a'=Π[j=1,s]a'_j
とおき、以下のy, zを奇数の完全数とする
y=p^n・b=p^n Π[k=1,r]b_k
z=q^m・b'=q^m Π[j=1,s]b'_j
∃i, s.t. p_i=q かつ ∃j, s.t. q_j=p

それぞれ完全数であることから
(p^n+…+1)a=2・p^n・b
(q^m+…+1)a'=2・q^m・b'

この場合にp.7と同じロジックを展開すると、
p^n(q^m+…+1)a'・b=q^m(p^n+…+1)a・b'
両辺のaとa'、bとb'について共通部分を相殺したとしても、bにはpが含まれず、b'にはpが含まれるのでその部分は残ります
結果「右辺は p を因数に含まない」が言えず矛盾も生じません