Zsigmondy の定理の系として、以下の補題が成り立つ。
[補題Z]
p≡1, n≡1 (mod 4) である奇素数pと奇数n≧5について、
p^(n+1)-1 は少なくとも一つ、p^2-1 のどの素因数とも異なる素因数をもつ。

この補題Zを使うことで、以下の定理を証明できる。

[定理]
p≡1, n≡1 (mod 4) である奇素数pと奇数n≧5について、
p^(n-1)+p^(n-3)+…+p^2+1 は少なくとも一つ、(p+1)/2 のどの素因数とも異なる素因数を持つ

[証明]
補題Zより、p^(n+1)-1 は少なくとも一つ、p^2-1 のどの素因数とも異なる素因数をもつ。これを q とする。
p^(n+1)-1 = (p^(n-1)+p^(n-3)+…+p^2+1) × (p^2-1) であり、q は p^2-1 の素因数でないから、
p^(n-1)+p^(n-3)+…+p^2+1 は必ず q を素因数に持つ。
p^2-1 は (p+1)/2 の倍数であるから、この q は (p+1)/2 のどの素因数とも異なる。□

以上より、p≡1, n≡1 (mod 4) である奇素数pと奇数n≧5について、
p^(n-1)+p^(n-3)+…+p^2+1 は (p+1)/2 の素因数のみの積となることはない。