(2wp+1)p-s-2w=0
s+2w≡0 (mod p)
2w≡0 (mod p)
となるからw=zpとすると

(2zp^2+1)p-p^n-2zp=0
(2zp^2+1)-p^(n-1)-2z=0
2zp^2-p^(n-1)-2z+1=0

2z-1=Apとすると
(Ap+1)p^2-p^(n-1)-Ap=0
(Ap+1)p-p^(n-2)-A=0

A=Bpとすると
(Bp^2+1)p-p^(n-2)-Bp=0
(Bp^2+1)-p^(n-3)-B=0
Bp^2-p^(n-3)-B+1=0 …①

B-1=Cpとすると
(Cp+1)p^2-p^(n-3)-Cp=0
(Cp+1)p-p^(n-4)-C=0

C=Dpとすると
(Dp^2+1)p-p^(n-4)-Dp=0
(Dp^2+1)-p^(n-5)-D=0
Dp^2-p^(n-5)-(D-1)=0 …②

n=5のときは
Dp^2-D=0
∴p=±1

式①と②を比較すると、変数が変わりnの次数が2少なくなっている。
この操作を繰り返せば、n=4m+1であるから、必ず最後には
n=5の場合と同様になり、p=±1になり不適になる。
以上から、奇数の完全数は存在しない。