>>850
fを単射とするとf:S→f(S)は全単射。つまりSとf(S)は濃度が等しい。
f(S)はSの部分集合なのでf(S)の濃度≦Sの濃度だが上のことよりf(S)の濃度≧Sの濃度でもあり、よってS=f(S)
したがってf:S→f(S)=Sは全射。

fを全射とするとSの任意の元sに対しf^-1(s)は空集合ではない。
よって写像g:S→Sをsに対しg(s)∈f^-1(s)となるように作れる。
任意のs∈Sに対しf○g(s)=f(g(s))=sよりf○gは恒等写像となり単射。
よってgは単射ではじめに示したことによりgは全射。
したがってf○gが単射であることとgが全射であることよりfは単射。