すいません、もう一つ

f'(x)/f(x)を積分すると一般にlog|f(x)|になるようですが、
逆は成立しますか？

つまりlog|f(x)|を微分すると、
f'(x)/f(x)になりますか？
それともどこかに絶対値がつきますか？

絶対値つくと大抵の関数はどこかで滑らかでなくなりそうなので、一般に微分できるとは全くいえない?のでしょうか