I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。

さらに、

異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題を証明すればよい。

理由：

i, j ∈ {1, ..., n} に対して、

I_i = I_j であるときかつそのときに限り、

i 〜 j

であるとして、2項関係を定義すると、この2項関係は同値関係である。

この同値関係により、 {1, ..., n} を {1, ..., n} = A_1 ∪ … ∪ A_k と類別し、 i_1, …, i_k を代表元とする。

明らかに、

∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}

が成り立つ。

証明された命題により、

| I | ≦ | I_{i_1} | + … + | I_{i_k} | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |

このように、異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i = I_j である場合にも命題を証明できる。