分からない問題はここに書いてね446

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/15(水) 23:08:05.70

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね445
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531671066/

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 20:45:19.05

cで書いてみました。
main(){
double x[6]={9.0/50,9.0/50,9.0/50,9.0/50,9.0/50,5.0/50},s,t;
int i,k,p[]={1,2,4,8,16,32},f;
for(i=1,s=0.0;i<64;i++){
t=0.0;f=-1;
for(k=0;k<6;k++)if((i&p[k])>0){t+=x[k];f*=-1;}
s+=1.0/(f*t);
}
printf("%f\n",s);
return 0;
}
実行結果が次。
http://codepad.org/lxIHNH1s
数式表示板も一応作成
http://codepad.org/2HSq2tF5

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 21:43:43.98

>>759
ビット演算子の勉強になりました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 22:02:01.16

行列の階数を求める際、行or列基本変形をしてとくと思うんですけど

質問1 行と列の両方を変形してもいいんでしょうか？
(例えば、ある行と行を入れ替えた後に、ある列とある列をいれかえるみたいに)

質問2 どこまで変形したら、これ以上は変形してもどれかしらの行または列の成分が0にはならないなとわかるんでしょうか？
これ以上は変形しても意味ないという目安みたいなのはないんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 22:08:20.27

>>761
座標形の質問で物理板を荒らした糞ロダ使いの高校生さんこんばんは

いいですね

勘です

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 22:21:46.54

>>758
ゴメン、それハズレなしバージョンの式。
なのでp+q+r=1。
で、ハズレなしバージョン証明したら、これを薄めてハズレありカード3枚バージョンが証明される。
次はそれ使ってハズレなしカード4枚‥と続ける。
もっとエレガントな方法がいかにもありそうだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 22:45:16.16

＞確率 p,q で当たるカード(p+q ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は
＞1/p + 1/q - 1/(p+q)
を仮定して
＞確率 p,q,r で当たるクーポン(p+q+r ≦ 1、つまりスカもありうる)をコンプする回数の期待値は

導出はこう

(1+ p(1/q + 1/r - 1/(q+r))
　+ q(1/r + 1/p - 1/(r+p))
　+ r(1/p + 1/q - 1/(p+q)))/(p+q+r)
=(1+ (q+r)/p + (r+p)/q + (p+q)/r
　 - p/(q+r) - q/(r+p) - r/(p+q))/(p+q+r)
=(1+ (p+q+r)/p - 1 + (p+q+r)/q - 1 + (p+q+r)/r - 1
　 - (p+q+r)/(q+r) + 1 - (p+q+r)/(r+p) + 1 - (p+q+r)/(p+q) + 1)/(p+q+r)
=( (p+q+r)/p + (p+q+r)/q + (p+q+r)/r
　-(p+q+r)/(q+r) - (p+q+r)/(r+p) - (p+q+r)/(p+q) + 1)/(p+q+r)
= 1/p + 1/q + 1/r - 1/(q+r) - 1/(r+p) - 1/(p+q) + 1/(p+q+r)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 23:43:42.07

>>698
> Aをb行a列, Bをc行b列としてrank(AB)≦rank(A)

ABが普通の行列の積として定義されるためには
Aがa行b列、Bがb行c列　でないとまずい。
行と列を反対に覚えてるんじゃないのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/11(火) 23:56:54.55

外れは想定していなかったのでシミュレーションプログラムを書き換えた。

sim <- function(p){
n=length(p) # number of items
if(sum(p)>=1){ # no blank and/or rate of probabilities
prob=p/sum(p) # scaling for sum(prob)=1
lot=1:n # no blank lot
}else{
prob=c(p,1-sum(p)) # blank with probability of 1-sum(p)
lot=1:(n+1) # lot[n+1] blank lot
}
y=NULL
while(!all(1:n %in% y)){ # unless all item got
y=append(y,sample(lot,1,prob=prob)) # sample one lot with probabilty prob
}
return(length(y))
}

シミュレーションが１万回程度だといまひとつの近似
> mean(replicate(1e4,sim(1:5/20))) # with blank lot
[1] 25.239
> Gacha(1:5/20)
[1] 24.89805

こういうシミュレーションがお手軽にできるのがR。
Cだと乱数発生から部品製作を始めることになるので俺には無理。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 00:09:27.64

>>764
p,q,rで重み付き平均して3個のときの期待値を出しているという理解でいいのかな？
最初の1も()内に入れるか否かがイメージが掴めないや。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 00:31:42.90

>>767
考え方は>>692と同じ
変数が３つのときの式を立てて解く

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 00:46:24.03

>>767
横レス。
おれ＝>>753＝>>763≠>>764
なのでおれは>>764はわからない。
おれのやった方法はp+q=1のときコンプ回数の期待値=1/p+1/q-1/(p+q)が示せたとしてp+q<1とする。
p’=p/(p+q)、q’=q/(p+q)とおいてコンプまでのあたり回数の期待値は1/p’+1/q’-1/(p’+q’)。
よって総回数の期待値は
1/(p+q)(1/p’+1/q’-1/(p’+q’))
=1/(p+q)((p+q)/p+(p+q)/q-(p+q)/(p+q))
=1/p+1/q-1/(p+q)
でハズレがあっても同じ。
それを使ってカード３枚ハズレ無しを証明して…

結論の式がきれいだからもっとウマい導出がありそうなんだけど今んとこコレしか思いつかん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 01:47:44.47

>>641

〔補題〕
　任意の三角形 △ABC、△DEF は、空間内にうまく置けば、或る射影によって移りあう。

(略証)
　平行でない2平面 P'、Q が直線Lで交わっている、とする。
　△ABC を EF/BC 倍に拡大/縮小した相似三角形を △A'B'C' とする。
　B'C' = EF,

　次に △A'B'C' を平面P'に、△DEF を平面Qに置くのだが、
　B'=E と C'=F をL上にとる。（A' と D はL上にはない。）

・BC ≧ EF のとき
　直線A'D の延長上(D側)の点Sに光源を置く。
　Sを中心として △A'B'C' を BC/EF 倍に相似拡大した位置（平面Pとする）に △ABC を置く。
　光源S　→　△DEF (on Q)　→　△A'B'C' (on P')　→　△ABC (on P)

・BC ≦ EF のとき、
　直線DA' の延長上(A'側)の点Sに光源を置く。
　Sを中心として △A'B'C' を BC/EF 倍に相似縮小した位置に △ABC を置く。
　光源S　→　△ABC (on P)　→　△A'B'C' (on P')　→　△DEF (on Q)

∴　射影幾何学では三角形は１つしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 02:56:45.64

>>766
精度や周期に信用がおけないなら自作してもいいが、
cにも乱数は一応標準装備されています。
シミュレーションをcで書いてみました。
http://codepad.org/RSfiYdAh

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 03:00:41.80

一千万回は切られてしまいましたが、500万回はこのサイトでもやってくれました。
http://codepad.org/x2U3z0Q0
http://codepad.org/QNG02ObT

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 03:34:00.68

>>694 (2) >>727 >>732

a[n] = n, 　　　S = -log(2),
a[n] = 2n-1,　　S = -π/4,
a[n] = 3n-2,　　S = -π/(3√3) + (1/3)log(2),
a[n] = 3n-1,　　S = -π/(3√3) - (1/3)log(2),
a[n] = pn+q,　　S = - {ψ(q/2p +1) - ψ(q/2p +1/2)}/2p,

ψ(z) = Γ'(z)/Γ(z) は digamma 函数。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 03:44:17.40

>>692の「同様の計算」ってのは、同じように考えて、
カードA,B,Cがそれぞれ1枚以上出るまで引くときの平均枚数をM(A,B,C)とすると、
初回でカードAが出た場合の平均枚数は 1+M(B,C)
初回でカードBが出た場合の平均枚数は 1+M(A,C)
初回でカードCが出た場合の平均枚数は 1+M(A,B)
どれも出なかった場合の平均枚数は 1+M(A,B,C) となる。

M(A,B,C) = a(1+M(B,C)) + b(1+M(A,C)) + c(1+M(A,C)) + (1-(a+b+c))(1+M(A,B,C))
これを解いて M(A,B,C) = (aM(B,C) + bM(A,C) + cM(A,B) + 1) / (a+b+c)
それぞれ M(*,*) に代入して整理すると
M(A,B,C)
　 = ( a(1/b + 1/c - 1/(b+c))
　　 + b(1/c + 1/a - 1/(c+a))
　　 + c(1/a + 1/b - 1/(a+b)) + 1) / (a+b+c)
　 = ( a/b + a/c - a/(b+c)
　　 + b/c + b/a - b/(c+a)
　　 + c/a + c/b - c/(a+b) + 1) / (a+b+c)
　 = ( (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c +
　　 - a/(b+c) - b/(c+a) - c/(a+b) + 1) / (a+b+c)
　 = ( (a+b+c)/a - 1 + (a+b+c)/b - 1 + (a+b+c)/c - 1
　　 - (a+b+c)/(b+c) + 1 - (a+b+c)/(c+a) + 1 - (a+b+c)/(a+b) + 1 + 1) / (a+b+c)
　 = ( (a+b+c)/a + (a+b+c)/b + (a+b+c)/c - (a+b+c)/(b+c) - (a+b+c)/(c+a) - (a+b+c)/(a+b) + 1) / (a+b+c)
　 = 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b) + 1/(a+b+c)

４つの場合は M(A,B,C,D) = (aM(B,C,D) + bM(A,C,D) + cM(A,B,D) + dM(A,B,C) + 1) / (a+b+c+d)
　 = (略)
　 = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d - 1/(a+b) - 1/(a+c) - 1/(b+c) - 1/(a+d) - 1/(b+d) - 1/(c+d)
　 + 1/(a+b+c) + 1/(d+a+b) + 1/(c+d+a) + 1/(b+c+d) - 1/(a+b+c+d)
以下同様

ちゃんとやるなら総和とか使ったほうがいいかも

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 04:47:37.76

可縮な空間が弧状連結であることを定義から示すにはどうすればいいんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 04:58:28.86

一千万回は切られてしまいましたが、500万回はこのサイトでもやってくれました。
http://codepad.org/x2U3z0Q0
http://codepad.org/QNG02ObT

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:25:59.28

>>771
シミュレーションありがとうございます。
変数kの動作が理解を越えているのですが
一様分布の値が設定上限を超えるかどうかで採用するかを決める
Neumann法で乱数発生の確率を制御しているのでしょう。

Rだとsample(1:6,1,prob=c(9,9,9,9,5,5))ですむので横着者には便利です。遅くて実用的でないこともしばしばです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:40:02.31

吉田洋一著『ルベグ積分入門』を読んでいます。

[a, b) （a ≦ b）を半開区間という。

半開区間の長さ |[a, b)| を |[a, b)| := b - a で定義する。

I, I_p （p = 1, ..., n）を半開区間とする。

I ⊂ ∪_{p = 1}^{n} I_p とする。

このとき、

| I | ≦ Σ_{i = 1}^{n} | I_i | が成り立つ。

こんな自明な命題をわざわざ手の込んだ方法で、証明していますね。

ルベーグ積分の本ではこのようなこともちゃんと証明していくのでしょうか？

他の分野の数学書だったら、「明らかに成りたつ」で終わりですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:52:06.12

この問題をこの長さからのアプローチでゴリ押して解けますでしょうか？
（面積を使って考えると秒殺でとけます）

https://i.imgur.com/PCjLZGw.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:56:43.96

こういうので
計算量の差が絶望的なルートに踏み込んでよく詰んでしまうのですが

そういうのでもゴリ押してけば最後にはなんとかなる問題となんとかならない問題がありすよね
いい見分け方はないですか？
あるいはどこで引き返せばいいのでしょうか？

体感だと微積系だと「なんかエレガントな方法ありそうだなあ……」と思いながらの汚いゴリ押しでも最後にはきれいに項が消し合ったり変形できたりしてちゃんと答えが出ることが多くて
こういう辺長求める系は大体詰むんですが

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:59:33.83

>>778

の命題のフォンノイマンによる証明の後に、

別の証明が載っています。

その証明の最初のところが分かりません。

I = [a, b)
I_i = [a_i, b_i) （i = 1, ..., n）

とする。

必要に応じて番号を付けかえれば、

a_1 ≦ a < b_1
a_n < b ≦ b_n
a_{p+1} < b_p ≦ b){p+1} （p = 1, ..., n-1）

と仮定しても一般性を失わない。

なぜ、一般性を失わずに、このような仮定ができるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 09:59:47.39

ごめん…どう見ても△PQBが正三角形なところに目が向いてしまって長さに思い至る解法が出てこない

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:01:48.35

>>782
PQBは正三角形とは限らないとおもいます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:04:25.98

あと↑の２式だけでは解けないので結局少なくとも30°60°と辺長利用した面積比は使うことになりますね
その和が1/2（t√1-t^2）になることに気づかないで単に比だけ使ってゴリ押したので詰んでしまいました

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:12:51.94

>>781

半開区間がオーバーラップするような仮定ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:15:41.70

無駄な被覆は捨てているということなんでしょうけど、すっきり説明できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:20:30.63

訂正します：

>>778

の命題のフォンノイマンによる証明の後に、

別の証明が載っています。

その証明の最初のところが分かりません。

I = [a, b)
I_i = [a_i, b_i) （i = 1, ..., n）

とする。

必要に応じて番号を付けかえれば、

a_1 ≦ a < b_1
a_n < b ≦ b_n
a_{p+1} < b_p ≦ b_{p+1} （p = 1, ..., n-1）

と仮定しても一般性を失わない。

なぜ、一般性を失わずに、このような仮定ができるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:24:13.19

明らかに、

b_1 ≦ b_2 ≦ … ≦ b_n

と仮定しても一般性を失わない。

b ∈ I ⊂ ∪_{p = 1}^{n} I_p

だから、

b ∈ I_p for some p ∈ {1, ..., n}

∴ b ∈ [a_p, b_p)

∴ b < b_p ≦ b_n

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:28:15.69

吉田洋一著『ルベグ積分入門』って決して親切な本ではないですよね。

この例から分かるように。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 10:31:04.50

明らかに、

I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定しても一般性を失わない。

仮定より、 a_p < b_p for all p ∈ {1, ...., n} である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:20:24.71

バカみたいな質問ですみません

https://i.imgur.com/UCXBrxN.jpg
この問題で

a=22とおいて連立させて解くと、
y=2,-3
という解が導けます
しかしこの解は楕円からはみ出ています

この解はどういう図形的意味を持っているのでしょうか？
連立させて解いて実解２解を持つのに、なぜ図上では交わらないなどということがあるのでしょうか

最後に図形の形による解の範囲の条件を加えなければならない時と、そうでない時があるのもよく分かりません

https://i.imgur.com/OGd0pnA.jpg
こちらも「交わるように定数を定める」、、上とよく似た問題ですが、こちらでは双曲線の形上の制約である|x|≧2を考慮せずともいいのはなぜですか？

アホですみません、困ってます、よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:25:28.54

最初からやり直します。

I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。

理由：

I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題が証明されたとする。
I_p = φ となるような p ∈ {1, ...., n} が存在したとする。
A := {i | I_i = φ} とおく。

明らかに、

∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = ∪_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない}^{n} I_p

である。

証明された命題により、

| I | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない} | I_i |

が成り立つ。

I_p = φ ⇒ | I_p | = 0 だから、

Σ_{1 ≦ p ≦ n かつ p ∈ A でない} | I_i | = Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |

∴| I | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |

このように、 I_p = φ for some p ∈ {1, ...., n} である場合にも命題を証明できる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:32:17.47

>>791
その解だとx^2が負になっちゃうだろ
つまり、yの値として出てきたその解は交点を求める問題の解としては不適となる
従って全体として解は無し→交点を持たない

xもyも両方とも実数でなければ出てきた解はxy平面上には存在しないというだけのこと

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:37:25.14

>>791
下の問題はxが実数ならyも実数なのは明らか

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:43:47.59

I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。

さらに、

異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題を証明すればよい。

理由：

i, j ∈ {1, ..., n} に対して、

I_i = I_j であるときかつそのときに限り、

i ～ j

であるとして、2項関係を定義すると、この2項関係は同値関係である。

この同値関係により、 {1, ..., n} を {1, ..., n} = A_1 ∪ … ∪ A_k と類別し、 i_1, …, i_k を代表元とする。

明らかに、

∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}

が成り立つ。

証明された命題により、

| I | ≦ | I_{i_1} | + … + | I_{i_k} | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |

このように、異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i = I_j である場合にも命題を証明できる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:45:41.36

>>795

訂正します：

I_p ≠ φ for all p ∈ {1, ...., n} と仮定して、命題を証明すればよい。

さらに、

異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題を証明すればよい。

理由：

異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i ≠ I_j と仮定して、命題が証明されたとする。
i, j ∈ {1, ..., n} に対して、

I_i = I_j であるときかつそのときに限り、

i ～ j

であるとして、2項関係を定義すると、この2項関係は同値関係である。

この同値関係により、 {1, ..., n} を {1, ..., n} = A_1 ∪ … ∪ A_k と類別し、 i_1, …, i_k を代表元とする。

明らかに、

∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}

が成り立つ。

証明された命題により、

| I | ≦ | I_{i_1} | + … + | I_{i_k} | ≦ Σ_{1 ≦ p ≦ n} | I_i |

このように、異なる i, j ∈ {1, ..., n} に対して、 I_i = I_j である場合にも命題を証明できる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 11:59:13.53

>>791
＞＞a=22とおいて連立させて解くと、
その22という値はどこから出てきた？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 12:07:15.98

試しにaの値を適当においてやってみたということならちゃんとそう書いとけ
連立方程式なのだからyだけじゃなくてxも見ないと
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B2y%5E2%3D1,4y%3D2x%5E2%2B22
xは虚数解になるのでグラフ上に共有点は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 12:15:04.05

＞＞こちらでは双曲線の形上の制約である|x|≧2を考慮せずともいいのはなぜですか？
考慮すべきだが本問では
判別式の条件で得られた範囲のkに対してグラフが共有点をもつことはグラフからすぐわかる
ので省略したということ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 12:58:03.28

>>779
Qが中心にしか見えない図を書くのやめろや

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 15:04:24.09

xyz空間の円板Cと円周C[a]を考える。
C: x^2+y^2≦1, z=0
C[a]: x^2+y^2=a, z=1
C[a]上を点Pが一周するとき、以下の問に答えよ。

（1）Cを底面、Pを頂点とする円錐内に含まれる点全体からなる領域をD[P]とする。
どのD[P]にも含まれる点全体からなる領域の体積V[a]を、a=1のときに求めよ。

（2）0<a≦1の範囲でV[a]の増減を調べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 15:56:31.65

>>796
>明らかに、
>
>∪_{1 ≦ p ≦ n} I_p = I_{i_1} ∪ … ∪ I_{i_k}
>
>が成り立つ。

成り立ってないやろ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 17:15:42.50

（3）の対象移動の説明が理解できない。バカでも分かるように教えて下さい。
https://i.imgur.com/s15Dt19.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 18:04:40.39

>>777
もし、RAND_MAXが50だったら、y[0]=9、y[1]=18、...、y[4]=45、y[5]=50　という様な値が入る事になります。
実際はもっと大きな値ですが、RAND_MAX未満の乱数が発生したとき、その発生させた乱数が、
「どの範囲にあるか」で、「どのカードに対応」とすることになります。その範囲の境界になる値が入ります。

>>while(k!=63){
>>　　r=rand();
>>　　if(r<y[2]) k |= 1+(r>y[0]) + 2*(r>y[1]) ;
>>　　else　　 k |= 8*(1+(r>y[3]) + 2*(r>y[4]));
>>　　count++;
>>}
kの計算の中に、“(r>y[0])”の様な「条件式」がありますが、
「条件式」は正しければ　1　間違っていれば、　0　という値を取ります。
式の右辺全体で見れば、r<y[0]　なら　1、y[0]≦r＜y[1]なら　2、...、y[3]≦r＜y[4]なら　16
y[4]≦r　なら　32　という値を取ることになります。
これらの値を、kに繰り返し「論理和」として、追加していきます。
kの値が63になったときは、1,2,4,8,16,32、全ての値を取ったと言うことなので、ループを脱出します。
このような事を通して、全ての種類が出るまで、何度乱数を発生さる必要があったかをカウントしてます。
カード１が出て、かつ、カード２が出て、かつ、．．．　という様な判定式を書くより、
上のようにkを制御すれば、kの値が63かどうかの判定だけで済みます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 22:14:47.94

>>804
ご丁寧な解説ありがとうございました。
そういうアルゴリズムを考えて
それをビット演算の高速処理に感心しました。

Rだとわずか
while(!all(1:n %in% y)){
y=append(y,sample(lot,1,prob=prob))
}
で
各カードをprobの確率でlotから1枚サンプルリングしてyに追加
全部が揃ったらwhile loopを抜けるが書けちゃうんで
お手軽なんです。
速度は全く期待できませんが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 22:41:29.49

>>804
発生した乱数が上限を超えたら不採用としていたのでなくて
発生した乱数がどの区分に属するかを判断していたのですね。
全体の流れは理解できました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/12(水) 23:54:53.69

>>805
サンプリング関数は、呼び出されるたびに、確率分布を再設定しなければならないはず。処理が重くなるはずです。
一様乱数を発生させ、手動でカード番号へ変換するようにすれば早くなると思います。

yというリスト(？)に、カード番号をどんどん追加していては、all関数の処理がどんどん遅くなるのは自明。
例えば、今回得たカードは、リストの中にあるかどうかを調べ、無い場合にのみ追加し、
リストのサイズが6になったら終了としたらどうでしょう？

この２点の改良だけでもだいぶ速くなると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 01:31:01.93

区分的C^1級関数ではないが、殆ど至るところC^1級ではある関数を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 06:52:20.75

まずは定義を確認してね

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 07:27:43.44

>>807
まず、後半の助言に従って
加えてから判定でなくて加えるかを判定することで
速くなりました。

y=NULL
count=0
while(length(y)<n){
z=sample(lot,1,prob=prob)
count=count+1
if(!any(z==y)) y=append(y,z) # append new item only
}

> p=c(9,9,9,9,9,5)/50
> system.time(mean(replicate(1e4,sim(p))))
user system elapsed
13.980 0.020 14.325
> system.time(mean(replicate(1e4,sim2(p))))
user system elapsed
9.230 0.010 10.176

前半はこれから、やってみます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 11:35:52.22

無限集合の無限集合は何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 11:57:41.40

>>811
∀x∈X ?_0 ≦ |x|　かつ　?_0 ≦ |X|
を満たすXは普通にある
例えば、X:={N+n | n∈N}

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 11:58:02.71

アレフが？に変換されてしまった

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 12:22:31.02

>>807
ご助言に従って改造してみました。

sim3 <- function(p){
n=length(p)
sep=cumsum(p)
y=NULL
count=0
while(length(y) < n){
z=sum(runif(1) < sep)
if(!any(z==y)) y=append(y,z)
count=count+1
}
return(count)
}

> system.time(mean(replicate(1e5, sim1(p))))
user system elapsed
86.67 0.11 87.70

> system.time(mean(replicate(1e5, sim3(p))))
user system elapsed
38.81 0.04 39.36

倍速以上になりました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 12:24:08.69

>>810
先頭が欠落していました。

sim3 <- function(p){
n=length(p)
sep=cumsum(p)
y=NULL
count=0
while(length(y) < n){
z=sum(runif(1) < sep)
if(!any(z==y)) y=append(y,z)
count=count+1
}
return(count)
}

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 14:06:04.45

おめでとうございます。
工夫の成果が目に見える形で返ってくるとうれしいですよね。

後一点、「z=sum(runif(1) < sep) 」のrunif(1)は[0,1]の一様乱数を
発生させるものだと思いますが、今回のような確率分配の場合は、
z=floor(r*runif(1))
で、十分だと思います。（rには、あらかじめ50.0/9.0　の値を入れておく）

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 15:37:29.45

>>809
定義を見返すと普通に非連続関数がありますね

では有界変動かつ連続であるが、区分的にC^1級とさならない例を教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 15:55:18.55

>>814
外れを含む場合対応版

sim4 <- function(p){ # p : probability of each card
n=length(p) # numbers of non blank card
sep=cumsum(p) # culmalative sum 0.1 0.2, 0.2 => 0.1, 0.3, 0.5
y=NULL # how many kinds of items drawn
count=0 # how many cards drawn
while(length(y) < n){
x=runif(1)
z=sum(x < sep) # allocate how many sep is greater than x　to card
if(!any(z==y) & z) y=append(y,z) # append new item only, z=0 if blank lot
count=count+1
}
return(count)
}

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 16:17:06.32

R より Python のほうがいいのではないでしょうか？
R の利点は何でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 16:31:34.03

>>819
私には結果が外付けライブリなしで直ぐにグラフ化できること
統計パッケージが豊富なことかな。

掲示板に貼ってインデントが乱れても動作するのもあるかな
()だらけにはなりますが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 17:04:01.57

成立学園1-F担任の岩崎柾典先生がヤバイ。
成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
部活は女子テニス部。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたけど、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては？

https://m.facebook.com/masaoki.iwasaki.9
https://twitter.com/mas20285
https://twitter.com/keepmathtop
https://twitter.com/kyuuchan_
https://twitter.com/xPuGPq8Tn9GWCJb
https://twitter.com/K46_N700_hikari

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この人を首にする方法を教えでください！
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 17:11:37.48

>>821
なんだ、ＪＣとやったのがばれたけど、他校にとばされただけという勝ち組の話か。
自分ごとＮＧしとこｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 19:20:20.01

無限集合の無限集合が何なのか気になる。
あと、無限集合の無限集合の無限集合は何か？
さらに、無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の無限集合の・・・・・
（これが無限の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗の無限乗回続く）
が何なのか気になる。

学術 · 2018/09/13(木) 19:25:14.07

https://www.youtube.com/watch?v=U28krJWG-To

集合してるところが単一種的でなく。陣形を立てれるとか散開をはらむ
時宜的にということも大事だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 20:24:23.11

どの面も出るのが同様に確からしい８面ダイスを
独立に２回振った時に少なくとも一回は４の目が出る
確率はいくらですか？

　１..２..３..４..５..６.７..８
１■■■□■■■■
２■■■□■■■■
３■■■□■■■■
４□□□□□□□□
５■■■□■■■■
６■■■□■■■■
７■■■□■■■■
８■■■□■■■■

一回目i，二回目ｊとして

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦８，１≦ｊ≦８｝から

#A＝６４－４９＝１５なので

少なくとも一回は４の目が出る確率は

P(A)＝１５／６４ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 20:41:27.39

>>823
無限集合の無限集合
って
　∀ｚ∈x アレフ_0 ≦ |ｚ|　かつ　アレフ_0 ≦ |x|
を満たすxのことを言ってるんだよな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 21:48:31.73

>>826
まぁようするに、無限集合があって、それの無限個の集合があるって感じです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 22:02:47.35

>>823
ヒマラヤさんには理解できない難しいお話になります
諦めましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 22:46:43.89

神々の数学って具体的にどんな感じの体系なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/13(木) 23:27:12.97

ピザ食い過ぎかな？って感じの

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 02:16:07.62

いかなるありとあらゆる全ての考え方をしたり、
いかなるありとあらゆる全ての事象などにも対応し、打ち勝つことができるものを考えているのですが、
それは何でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 08:18:42.29

>>793
>>794
ありがとうございます！

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 08:20:28.94

これの(2)、x^3 * √x-3だと思ったらx * (x-3)^1/3だったんですが
これなんか見分け方あるんでしょうか？

https://i.imgur.com/rTsy6jz.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 08:21:11.00

青チャートのⅢなので、これがそのまま入試に出ることがあるということでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:05:21.74

すいません、もう一つ

f'(x)/f(x)を積分すると一般にlog|f(x)|になるようですが、
逆は成立しますか？

つまりlog|f(x)|を微分すると、
f'(x)/f(x)になりますか？
それともどこかに絶対値がつきますか？

絶対値つくと大抵の関数はどこかで滑らかでなくなりそうなので、一般に微分できるとは全くいえない?のでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:08:37.89

x^3 ・ √(x-3) のつもりなら x^3 と √(x-3) の間に少し隙間があるというかそういうふうに組版すると思う
画像の式をそう読むには両者がくっつき過ぎている（よってそうは読めない）
数研の本の3乗根を表す3はもっと小さかったと記憶してるが変わったのかね

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:10:56.17

>>835
(log|x|)’ は公式になってる
君の持ってる本をよく見直せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:13:57.01

>>834
さすがにこの画像には笑った
一応、√記号の上範囲に入ってる数字は指数ということになります。
標準的な試験作成では、三乗の３ならもっと左側に
三乗根の３ならもっと右側、√記号のへこんだところの上のあたりに書かれます。

もしかすると、高校のテストなんかではチャート式と同じように表示されていることもあるかも。
いずれにしろ大学入試レベルでこんなのが出てきたら確認をとっていいと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:14:30.29

微分して戻らないなら原始関数の定義がおかしいことになるから多分なりますか……
f(x)が0をまたいでその近辺で|f(x)|がカクッとして微分不可能になるときは
log|f(x)|は-∞まで行ってて全然よく見えないから考えなくていいみたいなかんじなんですかね

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:15:09.94

>>837
ありがとうございます。
よく見たらありました……

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:15:51.07

>>838
ありがとうございます。普通はないから安心していいということですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 09:56:20.95

log|f(x)|と言われたら、f(x)=0となるような x は定義域に含みません。なので、f(x)が連続なら
連続したxの定義域でf(x)=0となることはなく、したがって正負が入れ替わることはありません。

つまり、f(x)=0になっちゃだめだから、f(x)の正負が途中で入れ替わるようなことはないです。
なので実質上その絶対値記号は外れてしまうので、あまり変なことはおこりません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 10:16:42.83

S を有限集合とする。

f : S -> S が単射 ⇔ f : S -> S が全射

を厳密に証明するにはどうすればいいのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 10:59:42.01

成立学園1-F担任の岩崎柾典先生がヤバイ。
成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
部活は女子テニス部。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたけど、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては？

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https://i.imgur.com/dZCoLXp.png
https://i.imgur.com/LffkRQC.jpg
https://i.imgur.com/Jw3LwXW.png
https://i.imgur.com/QzeaCiH.jpg
https://i.imgur.com/cFFoLzx.jpg
https://i.imgur.com/xEYq9b3.jpg
https://i.imgur.com/BKijwpt.jpg
https://i.imgur.com/rw3S5gF.jpg
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**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 13:48:07.51

積分の問題で対数・三角関数が絡み、答えが複雑になるときって
原始関数の表記が色々あって、２つの表記が全然同一に見えないことがありますよね

これって、採点者が正しい回答にバツをつけてしまうということはないんでしょうか？

そうされないためにはどういう回答を書くべきなのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 13:51:19.19

>>843
有限集合の定義

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 14:25:42.30

>>845
本番の入試でそういうのがあったら大問題ですから、そういう別解が生まれないような問題作るとかするんじゃないですか？

丸つける人も人間ですから、楽をしたいはずですから
だからセンターとか私立とかはマーク式を使うんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 14:27:31.68

>>847
なるほど、ありがとうございます。
青チャートだと頻出で自分でマル付けしててもこれは合ってるのかと思うことがあるので質問させていただきました。
普通はないんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 15:41:42.53

>>843
単射なら全射は、f(S)とSの濃度が等しいこととf(S)はSの部分集合であることから、
全射なら単射は、単射g:S→Sでfとgの合成が恒等写像となるものが作れることから分かる

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 15:42:36.93

>>849

証明してください。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 16:01:30.74

>>850
fを単射とするとf:S→f(S)は全単射。つまりSとf(S)は濃度が等しい。
f(S)はSの部分集合なのでf(S)の濃度≦Sの濃度だが上のことよりf(S)の濃度≧Sの濃度でもあり、よってS=f(S)
したがってf:S→f(S)=Sは全射。

fを全射とするとSの任意の元sに対しf^-1(s)は空集合ではない。
よって写像g:S→Sをsに対しg(s)∈f^-1(s)となるように作れる。
任意のs∈Sに対しf○g(s)=f(g(s))=sよりf○gは恒等写像となり単射。
よってgは単射ではじめに示したことによりgは全射。
したがってf○gが単射であることとgが全射であることよりfは単射。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 16:07:51.85

>>851

ありがとうございます。

「よってS=f(S)」はどうやって示すのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 16:34:35.71

>>852
定義から、部分集合の濃度が全体集合の濃度を超えることはないことが分かります

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 16:54:06.04

nを2以上の任意の自然数とする。
連続するn個の自然数全体からなる集合をS_nとおく。
また、S_nの部分集合で、10進表示したときにどの桁にもある1つの整数i(i=0,1,2,...,9)が現れないもの全体からなる集合をT_(n,i)とおく。
以下の問に答えよ。設問間に直接の関連はない。

（1）任意の(n,i)について、T_(n,i)は空集合でないことを証明せよ。

（2）集合Sの要素数をn[S]と表す。次の命題Pの真偽を判定せよ。
「命題P：
極限 lim[n→∞] n[T_(n,i)]/n[T_(n+1,i)]
はi=0,1,...,8のいずれに対しても1となる。」

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 17:39:27.03

>>854
問題文の意味がわからん。
各ｎについて連続するｎ個の自然数の集合S_nをセレクトしてるの？それともそのような集合の全体がS_n？
前者の意味だとT_nはS_nのセレクションでn(T_n)の値が不定になるやん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 19:52:53.62

>>843
この証明は初等的かつ綺麗ではないでしょうかね

S を有限集合とする。
f : S -> S が単射 ⇔ f : S -> S が全射
<証明>
S=φの時は明らか
S'=S∪{s},￢(s∈S)とする。
f:S'→S'とする。
　g(a)=a (a≠s,f(s)の時)
　g(s)=f(s), g(f(s))=s
によって全単射g:S'→S'を定義する。
合成写像h=g･f:S'→S'とする。
h(s)=sであるので制限写像h':S→Sが定義される。
(→)
fが単射なら明らかにhも、従って、h'も単射なので、帰納法の仮定からh'は全射。
従ってhも全射。よってfも全射。
(←)
fが全射なら明らかにhも、従って、h'も全射なので、帰納法の仮定からh'は単射。
従ってhも単射。よってfも単射。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 21:19:15.20

色々な計算方法や考え方を教えていただきたいです
出てくる数字を入力しても電卓やネット上のツールだと数字が大きすぎるのか0となったりエラーになってしまいます

数字選択式の宝クジのロト7を例えに使います
ルール
・1口300円
・1～37までの数字を7つ重複無しで選択
・数字の大小順不同です
・抽選は毎週金曜日
2018年の場合
金曜日が一か月に4回の月×7 5回の月×5 で計53回
・ここでは一等のみ狙うつもりなので7つ全ての数字が一
致する事を前提とします
この場合一等の確率は
1/10295472→
0.000009713007815474608%
になります

①
1年の内毎回5口1500円分購入した場合
(5/10295472)^53=X
Xの分子÷分母×100=Y%

②
1年に一回265口79500円分購入した場合
265/1029547= 0.025739475711162287%

①と②ではどちらが%が高いのでしょう？

③
①は年に53回
5/10295472= 0.0004856504851162696%
②は年に1回
265/1029547= 0.025739475711162287%
となりますが

期待値？確率？としては①と②どちらが可能性としてあるのでしょうか
個人的には二桁近く違うけどチャンスが多い分①の方が当たる確率がありそうに思えます
仮に①が0.1%②が10%なら②を選択しますがここまで①②共に絶望的な数値だと試行回数？を増やすしかないのかなと素人目に思えました
以前ネット上で0.3%以下？の場合0.05429%でも0.00001%でも誤差の範囲だから意味はないと見かけた覚えがあるのですが本当ですか？

それとよく1%の物を100回試行しても約63%とお聞きしますが今回のお題で行くと
0.000009713007815474608%の物を何回試行すれば1%や10%のようになるのでしょうか

たくさんの質問ごめんなさい
もしよろしければお答えいただけたら助かります

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/14(金) 21:37:58.27

>>857
p=0.000009713007815474608/100
1%なら　1-(1-p)^n　>　1/100　を解けばよくね？