Aをb行a列, Bをc行b列 としてrank(AB)≦rank(A)
を示せ。という問題です。斎藤線形代数の章末問題です。私の解答の誤りを指摘して頂きたいです。


A,Bの標準形をそれぞれF(r_a),F(r_b)とすると、A,Bは正則行列P,Qを用いて

A=PF(r_a) B=F(r_b)Q と表せる。

したがって

AB=PF(r_a)F(r_b)Q
=PF(min{r_a,r_b})Q

である。したがって

rankAB=min{r_a,r_b}

となり示せた。