「z>1のとき、p=wzとなり、pが合成数になるから不適である。」

の部分では、w は整数であるとして議論しているということだが、ここでの
「整数であるとして議論している」とは、整数であることが予め証明できているわけではなくて、
「 wが整数であるようなケースを人工的に切り分けて場合分けして考えているに過ぎない」
という意味である。つまり、

if(wは整数である){
　　〜〜(中略)〜〜
　　z>1のとき、p=wzとなり、pが合成数になるから不適である。

}else{

}

と言っているに過ぎないのである。よって、else 節の中も埋める必要がある。実際に埋めてみると、

if(wは整数である){
　　〜〜(中略)〜〜
　　z>1のとき、p=wzとなり、pが合成数になるから不適である。

}else{
　　〜〜(中略)〜〜
　　z>1のとき、p=wzとなる。wは整数ではないから、wz は素数になり得るので、p=wz は特に矛盾を起こさない。

}

となり、else 節の中では矛盾が起きず、ここで証明に失敗する。