杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。

pp.60-61 命題6.9(2)の証明が間違っていますね。

lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0 ならば、 lim_{x → a} f(x) * g(x) = +∞

証明：

任意の M ∈ R に対し、 f(x) > M/c (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる δ > 0 がある。
このとき f(x) * g(x) > M (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる。

たとえば、

f(x) = 1/x - 1
g(x) = 2
c = 1
a = 0
D = {x > 0}

とします。

lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0

は成り立ちます。

M として、 -1 をとります。

f(x) = 1/x - 1 > M/c = -1/1 となる δ は確かに存在します。（任意の正の実数でよい。）
たとえば、 δ = 100 とします。

ところが、

f(x) * g(x) = (1/x - 1) * 2 > -1 （∀x ∈ U(0, 100) ∩ D = (0, 100)）

は成り立ちません。