面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:29:56.44

保守がてら

自分のIDに含まれている数字で10を作れ。
最初に成功した者が勝者である。
四則演算のみ使ってよい。
数字の分離、結合、並びの変更は認める。
例
ID:43ab2017　→　20/4+1+7-3=10

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:03:59.02

削除依頼を出しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:21:31.07

〔問題980〕
平面上にn個の異なる点を配置する。
どの2点間の距離も、必ず或る2つの実数値のどちらかを取るようにする。
n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。

1)　n=4の時、点の配置をすべて求めよ。
2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

[前スレ.980］

1）は、円周上の4点（2種）、円周上の3点と円の中心（4種）が判明している。>>983

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:33:40.61

〔問題970〕
a，b の最大公約数を gcd（a，b）と略記する。
gcd（a，b）= 1 をみたす a，b∈Z と任意の n∈Z（n≠0）に対して、
gcd（ax+b，n）= 1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。

［前スレ.970-971］

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 01:35:31.90

975 １３２人目の素数さん 2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf
(1)　0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2)　πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3)　πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。

（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。

976 １３２人目の素数さん sage 2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt
>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 02:32:16.03

974
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 02:47:23.03

解答は手に入れたが、貼る前にもう一度考えてみて

[23-937]
[24-30]
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通ることがあるためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば、東京(N35.7°,E139.7°)と
・ロンドン(N51.5°,W0.1°)
・メキシコシティー(N19.4°,W99.1°)
・リオデジャネイロ(S22.9°,W43.2°)
はこの位置関係にあるが、
・大阪(N34.7°,E135.5°)
・ヨハネスブルク(S26.2°,E28.0°)
・ブエノスアイレス(S34.6°,W58.4°)
はこの位置関係にない（東京より北は通らない）
地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。

[24-437]
3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 08:52:47.71

【カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたすn∈Nをカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

(1) カーマイケル数は奇数である。

(2) n∈Nに対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)である。
　(i) nは合成数で、平方因子をもたない
　(ii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる

(3) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。

(4) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数のとき、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 08:59:11.10

>>9
n=2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 12:33:56.24

素数p、整数a, bに対して、a≡b (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

これは簡単杉か…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 23:51:59.50

>>11
a-b=np
a=b+np
a^p=(b+np)^p=b^p+pb^(p-1)np+...+(np)^p
a^p-b^p=p^2{b^(p-1)n+...+n^pp^(p-2)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 01:44:46.11

>>9
(4)
Chernick のカーマイケル数と云うらしい。 (A033502)
k=1, 1729,
k=6, 294409,
k=35, 56052361,
k=45, 118901521,
k=51, 172947529,
k=55, 216821881,
k=56, 228842209,
k=100, 1299963601,
k=121, 2301745249,

なお、逆は成り立たないようです。

・3因子のうち2つだけが素数であるカーマイケル数 (A242980)
k=5, 172081, (4), 18k+1=91=7*13,
k=11, 1773289, (4), 12k+1=133=7*19,
k=15, 4463641, (4), 6k+1=91=7*13,
k=33, 47006785, (5), 18k+1=595=5*7*17,
k=61, 295643089, (4), 18k+1=1099=7*157,
k=85, 798770161, (4), 6k+1=511=7*73,
k=96, 1150270849, (5), 18k+1=1729=7*13*19,
k=115, 1976295241, (4), 18k+1=2071=19*109,

・3因子のうち1つだけが素数であるカーマイケル数 (A242981)
k=22, 13992265, (5), 6k+1=133=7*199, 12k+1=265=5*53,
k=105, 1504651681, (5), 12k+1=1261=13*97, 18k+1=1891=31*61,

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 02:21:17.57

>>11 >>12
ｐは素数でなくても成り立ちそう…　（ただしp≧2）

a^p - b^p = (a-b) ｛a^(p-1) + a^(p-2) b + …… + a b^(p-2) + b^(p-1)｝
ここで
a-b = np,
a = b+np,
｛……｝≡ b^(p-1) ×(p項) ≡ 0,　　（mod p)

>>13 の訂正
k=22, n=13992265, (5つの素数の積), 6k+1=133=7*１９, 12k+1=…

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 09:36:02.27

>>9
(2)の条件に奇数が抜けていたので修正します。
内容が被ってしまうので、問題自体を書き直します。スマソ。

--------------------------------------------------
【問題：カーマイケル数】
gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたす n∈N をカーマイケル数という。
以下を証明せよ。

合成数 n∈N に対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)かつ(iii)である。
　(i) nは奇数である。
　(ii) nは平方因子をもたない。
　(iii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる。

(1) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(i)を示せ。
(2) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(ii)を示せ。
(3) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(iii)を示せ。
(4) 合成数 n∈N が(i),(ii),(iii)をみたすならば、n はカーマイケル数である。
(5) カーマイケル数は、３個以上の異なる素数の積である。
(6) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数ならば、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。
--------------------------------------------------

(1)(4)(5)(6)は、易。
(2)は、私の用意した解答は間違っていますた。（フェルマーの小定理を誤用）
(3)は、(1)(2)と原始根と中国剰余定理を使って証明した。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 09:39:19.45

>>10、>>13-14
かたじけのうござる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 10:18:17.64

>>11を少し変えてみる。

素数p、整数a, bに対して、a^p≡b^p (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/20(火) 10:45:51.52

>>17
a=a^p=b^p=b (p)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/21(水) 02:41:30.51

>>17

pは素数だから、フェルマーの小定理（ >>18）により
a^p ≡ a　（mod p)
b^p ≡ b　（mod p)
∴　a ≡ ｂ　（mod p)

p≧2 だから、>>12 >>14 により、
a^p ≡ b^p　（mod pp)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 02:44:52.37

一辺が整数の正方形で、3頂点からの距離が整数になる点を内部（周含まず）に持つものを挙げよ。
なお、4頂点すべてからの距離が整数になる場合は未解決である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 12:37:31.85

>>20
一辺52の正方形の内部、各辺からの距離7,24,45,28の点

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 21:40:02.05

>>21○
A(0,0),B(52,0),C,D,P(24,45)
これが最小の正方形？

条件を満たす正方形ABCDと内部の点Pの例は無限にある

A(0,0),B(700,0),C,D,P(396,297)
A(0,0),B(3364,0),C,D,P(945,900)
A(0,0),B(10952,0),C,D,P(1155,396)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
…

もちろんPとy=x,y=-x+1について対称な点も条件を満たす（各正方形に計4つ）。

解説や類例（英語）
http://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/22(木) 22:30:00.29

>>22
一辺52は最小
一辺1000未満の解も他にいくつか
A(0,0),B(195,0),C,D,P(48,140)
A(0,0),B(740,0),C,D,P(168,315)
A(0,0),B(867,0),C,D,P(416,780)
A(0,0),B(996,0),C,D,P(520,765)
4頂点すべてからの距離が整数になる場合があるとしたら、一辺は12の倍数になるはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:07:10.34

n,k,iを自然数とし、自然数b1,...,bnがあり、b1+b2+...+bn =k　とする。
この時、次の条件を満たす自然数の数列a1,...anが存在することを示せ。
・ai>ai+1
・ai≧bi
・a1+...+an=k^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:32:12.28

k=2,b1=b2=1
ai=？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 08:56:00.81

３と１では

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 09:13:38.88

>>22
一辺が 12675 のとき、互いに対称でない解が複数ある
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9100,3120)
A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9588,784)
２番目は既約でなく一辺が 195 の解と本質的に同じ
３番目は既約

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 13:00:01.29

k+k^2-kn+n(n-1)/2.
k-1.
k-2.
...
k-n+1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 16:56:19.85

>>28
正解！感想は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 21:20:28.33

>>24
これいつかのIMOよな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 06:01:36.41

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式を
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
とし、
F（x）= 0 の解をαとする。
　a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば　｜α｜< 1.
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば　｜α｜> 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 17:52:25.94

相異なる３つの素数の平方和は、素数となるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 20:09:04.83

>>32
3^2+5^2+7^2=83

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 23:52:59.95

では、相異なる３つの「５以上の素数」の平方和は、素数にならないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 00:58:19.40

>>34
５以上の素数は、その平方がいずれも３を法として１と合同であり、３つの和が常に３の倍数となるから
「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 01:34:29.12

こう書けばよかったんですね、さんくす。
「３と異なる３つの素数の平方和は、素数でない」

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:26:45.73

2をふたつ使われないよう奇素数かな

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:27:50.44

寝ぼけてた
見なかったことにして

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 16:58:06.28

x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、
これを無理やり因数分解できないものか？

　 x^5 +2x^2 + 3x + 4
≡x^5 +2x^2 - 2x - 1
＝(x^5-1) + 2x(x-1)
≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5)

ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 17:39:08.65

整数係数で割り算して、そのあと商（と余り）を mod 5 すればいい