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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46

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0001現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
垢版 |
2017/11/12(日) 08:29:00.64ID:cTg/FCp5
“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。(勢い1位の時も多い(^^ )

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜(^^

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ(不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets (Yahoo!でのあだ名が、「一石」)
(参考)http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り!
小学生がいますので、18金よろしくね!(^^

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^;
旧スレが512KBオーバー(間近)で、新スレ立てる
(スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)
0430132人目の素数さん
垢版 |
2017/11/21(火) 04:23:26.58ID:cl7UYlaS
正整数nと、超越数 a∈I=(0,1) とを任意に取る。
任意の既約な有理数 x=p/q∈(0,1) に対して f(p/q)=p/q、 任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)=a
というようにして区間 I=(0,1) で定義された実関数 f(x) を考える。
J={ p/q∈I | |f(a)−f(b)|=|a−p/q)|<1/q^n, (p,q は互いに素) } とおく。
既約有理数 b=p/q∈J を任意に取ると、p/q に対して或る正整数mが存在して、
1=|( f(a)−f(b) )/(a−b)|<1/(q^n|a−p/q|)<m で、1/(m・q^n)<|a−p/q|<1/q^n となる。
また、p/q の分母qと分子pについて q>p≧1 で、Jは可算無限集合だから、
Jの既約有理数 p/q についての分母qに上限は存在しないと同時に下限が存在する。
従って、或る正整数 q≧2 が存在して、k≧q のとき、任意の k>p≧1 なる高々有限個の
既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}<|a−p/k|<1/k^n となる。
故に、任意の正整数nと超越数 a∈I=(0,1) とに対して、或る正整数 q≧2 が存在して、
k≧q のとき、任意の k>p≧1 なる高々有限個の既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}<|a−p/k|<1/k^n となる。
故に、任意の正整数nと超越数 a∈I=(0,1) とに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈J に対して 1/q^{n+1}<|a−p/q|<1/q^n。
0431132人目の素数さん
垢版 |
2017/11/21(火) 04:26:24.42ID:cl7UYlaS
(>>430の続き)
逆に、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I=(0,1) q>p≧1 に対して 1/q^{n+1}<|a−p/q|<1/q^n とする。
このとき、a∈I=(0,1) が実代数的数とする。aの最小多項式の次数をnとする。
|a−p/q|≦1/q^{n+1}<1/q^n なる既約有理数 p/q∈(0,1) (q>p≧1) は高々有限個存在するから、
|a−p/q|≧1/q^n なる既約有理数 p/q∈I=(0,1) (q>p≧1) は可算無限個存在する。
従って、|a−p/q|<1/q^n≦|a−p/q| なる既約有理数 p/q∈I=(0,1) (q>p≧1) が存在して矛盾する。
背理法が適用出来るから、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I=(0,1) q>p≧1 に対して
1/q^{n+1}<|a−p/q|<1/q^n なる実数 a∈I=(0,1) は超越数となる。

故に J⊂I から、実数 a∈I=(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して
可算無限個の既約有理数 p/q∈I=(0,1) q>p≧1 に対して 1/q^{n+1}<|a−p/q|<1/q^n となることである。

だけどこれ、知られているよな。
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