1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/16(火) 22:09:09.29

>>131
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/17(水) 00:51:05.73

>>130

y(2-√2)/y(2+√2）=｛(2-√2)e^(-2+√2)｝/｛(2+√2)e^(-2-√2)｝
=（3-2√2）e^(2√2)
>（3-2√2）（1+2√2+4）　　　(*)
= 7 -4√2
> 1.343

y(2-√2）> y(2+√2)

*）　a>0　⇒　e^a > 1+a+aa/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/17(水) 01:31:04.38

>>133
まちがえました...orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 23:42:25.89

[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+i/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/28(水) 07:49:31.51

[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+i/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/28(水) 07:56:21.13

[Hard] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。??

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/28(水) 09:21:11.77

[POSSIBLE]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n))

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/19(月) 11:46:19.19

[Lunatic] n^3+7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy]　n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/29(木) 18:05:52.31

>>139
Easy(京大)

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:08:58.85

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:09:19.03

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:09:37.48

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:09:59.90

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:10:20.67

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:10:41.44

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:11:00.48

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:11:20.37

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:11:40.07

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 00:12:03.80

￥

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/19(木) 22:04:14.87

[Hard] 赤玉と白玉が6つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする)

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:10:01.96

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:10:17.34

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:10:31.92

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:10:54.23

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:11:18.62

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:11:42.39

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:12:09.44

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:12:34.59

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:12:58.67

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/05/08(火) 12:13:24.12

￥

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/31(火) 06:36:57.82

age

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/03(水) 17:32:11.40

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2019/03/01(金) 20:04:27.18

[Hard] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ200の巡回置換を含む確率を求めよ。
[Easy] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ2000の巡回置換を含む確率を求めよ。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/19/n01.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/18(木) 21:14:05.89

[Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。??

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/18(木) 21:25:51.36

KJ2guel2aRE

障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/04/27(土) 23:01:12.21

[Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/24(金) 06:39:52.59

[Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 12:46:07.54

[未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/02/03(月) 13:41:14.37

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/18(月) 13:37:32.37

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 01:52:54.22

>>169
Easy: {x, y, z} = {8, 1, 1} {9, -6, 1}

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/31(日) 02:09:33.77

[例9-3]
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy]　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-11),
[Hard]　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

秋山仁 + ピーター・フランクル共著：
　［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）　Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 03:43:07.02

97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6)　････ (5)

*　3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 04:42:24.72

[Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/02(火) 14:05:44.39

6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/04(木) 14:12:38.41

>>176
HARDも何も10個しかなくない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 15:56:39.31

[Easy]
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/05(金) 16:36:35.13

１１人いる！

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 02:58:47.78

>>174
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 07:56:26.00

>>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/09(火) 10:33:58.10

38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/09(火) 11:18:36.38

>>139
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期数学(理系) 第2問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29

http://www.youtube.com/watch?v=qrepKWHlGBQ 02:07　東ふく郎
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52　鈴木貫太郎

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/09(火) 12:14:10.79

追加
n^3 -7n +9
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52
http://www.youtube.com/watch?v=ADXRgm4Tqj8 10:56　PASSLABO

|(n-1)(n-3)(n-4)(n-6) + 5|
http://www.youtube.com/watch?v=wYH27LHiUHI 05:43

n^8 -6n^4 +10
http://www.youtube.com/watch?v=RgefjC_i96E 09:39

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/25(木) 15:10:54.29

>>139
n=7,8,13,14,16,19,25,････

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/27(月) 20:10:11.95

>>182
(3)×1372 - (2)
　-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9)　････ (10)
また
　-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6)　････ (11)
(5) - (11)×2
　789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　････ (12)
(11) - (3)×79
　1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(10)×3 + (7)×50
　-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8)　････ (13)
(13) - (3)
　-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9)　････ (14)
(13) - (14)×15
　269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12)　････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
　249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12)　････ (16)
(16) - (9)
　96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13)　････ (17)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 02:02:59.98

>>167
[Hard?]
　0<α≦π/12　のとき
　　f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
　π/12≦α<π/2　のとき
　　f(t) ≧ f(α-π/12)
　　= 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
　　= 1 + (α-π/12) - (√3)/2,

[Easy]
　t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
　f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),

1文字変えても難易度が変わらない問題

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 02:11:36.00

>>168
[Hard?]
　e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e･n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ････
　　< 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ････　　　(等比級数)
　　= 1/n,
　cos(2πen!) = cos(2π{e･n!}) ゆえ
　1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
　∴　cos(2πen!) = 1　　　(n→∞)

[Easy]
　cos(2πn!) = cos(0) = 1,

1文字変えても難易度が変わらない問題

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 14:44:05.07

>>165
与式は
　{(y '(x))^2 - exp(-2･y(x))} ' = 0,
xで積分して
　(y '(x))^2 - exp(-2･y(x)) = (y '(0))^2 - 1
　　= cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa,　(とおく)
両辺に exp(2･y(x)) を掛けて
　{y '(x)･exp(y(x))}^2 - 1 = {a･exp(y(x))}^2
a･exp(y(x)) = z(x)　とおくと
　(z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
　z(0) = a･exp(y(0)) = a･exp(0) = a,
　z '(0) = a･y '(0) = a･cosh(b),
よって
　z(x) = sinh(ax+b),
　y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.

1文字変えても難易度が変わらない問題

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/20(水) 20:57:07.64

[Hard] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/03(水) 22:39:26.47

[Hard] 1/9998の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/10(水) 00:04:06.10

1/9998 = 1/(10^4 -2) = Σ[k=1,∞] 2^{k-1} (1/10000)^k
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
　8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ････
　= (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ････) × 10^{-96}
　= 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93～96位の数は０２８６
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
　9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 43028６0572
　1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
　6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9

[Easy]
1/9999 = 0.000100010001････
∴　小数第93～96位の数は０００１

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/11(木) 01:53:44.38

>>176 [Hard] 残り9個
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 06:28:36.94

　　p ≡ +1　　　　　p ≡ -1　　　(mod 6)
-------------------------------
　　　　　　　　　608981812721
　608981812759
　608981812771
　608981812867
　608981812891*
　　　　　　　　　608981812919
　608981812951*
　　　　　　　　　608981812961
　608981812993*
　608981813017
　608981813029
　　　　　　　　　608981813123
　608981813137
　608981813191
　　　　　　　　　608981813261
　608981813269
　　　　　　　　　608981813273
　　　　　　　　　608981813303
　608981813311
　608981813347
　　　　　　　　　608981813357
　608981813449
　　　　　　　　　608981813459
　　　　　　　　　608981813501
　　　　　　　　　608981813507*
　608981813569
　　　　　　　　　608981813621*
　608981813677
　608981813683
　608981813701
　608981813707
　　　　　　　　　608981813711
　　　　　　　　　608981813717
　608981813719
　　　　　　　　　608981813777
　608981813779
　　　　　　　　　608981813789
　　　　　　　　　608981813807
　　　　　　　　　608981813819*
　608981813833
　　　　　　　　　608981813837*
　608981813851
　　　　　　　　　608981813861*
　　　　　　　　　608981813927
　608981813929*
　　　　　　　　　608981813939
　608981813941*
　　　　　　　　　608981813963
　608981814019*
　608981814043
　608981814127
　　　　　　　　　608981814131
　　　　　　　　　608981814143*
　　　　　　　　　608981814149
　　　　　　　　　608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 04:36:26.82

>>178　　[Easy] の方は
　p≡+1　　p≡-1　　(mod 6)
-----------------
　　　　　　5
　7 *
　　　　　　11
　13 *
　　　　　　17
　19 *
　　　　　　23
　　　　　　29
　31
　37 *
　　　　　　41
　43 *
　　　　　　47
　　　　　　53
　　　　　　59
　61
　67
　　　　　　71
　73
　79 *
　　　　　　83
　　　　　　89
　97
　　　　　　101
　103
　　　　　　107
　109
　　　　　　113
　127
　　　　　　131
　　　　　　137
　139
　　　　　　149
　151
　157
　163 *
　　　　　　167
　　　　　　173
　　　　　　179
　181
　　　　　　191
　193
　　　　　　197
　199
　211
　223 *
　　　　　　227
　229 *
　　　　　　233
　　　　　　239
　241
　　　　　　251
　　　　　　257
　　　　　　263
　　　　　　269
　271
* 印は「均衡素数」

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 16:41:46.59

[Hard] p(p+2)が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。

[Easy] p(p+2)^2が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c920896_2019_india_prmo

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/21(日) 20:37:52.24

>>196
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 13:40:11.20

[Easy]
No.18
　What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?

　p+2 = q^7　とすると… (q=2,3,5は×) 　q=7 で p=823541

[Hard]
　p+2 = q^14　とすると… (q=2,3 は×)　q=5 で p=6103515623

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 22:35:57.80

[Lunatic] pとp^4+15が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 00:26:30.80

Lunaticって
恐ろしく簡単
って意味なんだったっけ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:10:18.47

訂正
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 03:02:16.87

[Trivial]
　存在しない。
　p=3 のとき　p^4 + 14 = 95 = 5×19,
　p=5 のとき　p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
　p≠3,5 のとき　15の倍数。
京大の問題らしい…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/05(金) 03:48:59.48

[Lunatic]
p = 5, 13, 29, 31, 73, 97, … などがある。
すべてぢゃないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/18(木) 11:57:23.57

Lunatic] \int^1_{-1} |x^6-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/19(金) 10:15:36.66

>>186
　 -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　　　　････ (3)
　 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　　････ (12)
(3)×21 - (12)×17
　-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10)　････ (18)

　1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(7)×2 - (18)
　17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/28(日) 23:28:12.48

>>204
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
　= [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3　　(←公式)
　= 1/12 + 7/48 + 9/16
　= 19/24
　= 0.791667

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/30(火) 23:14:40.05

[Hard] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=r[x]の相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 11:12:52.22

[Hard]
　x>0 より　(左辺) >0,　[x] ≧ 0,

・r≦0　のとき
　(右辺) = r[x] ≦ 0　だから０個,
・0≦r<4　のとき
　[r] 個
・4≦r　のとき
　[r] = r' とおく。
　0 ≦ {r} < 1/(r'-2)　のとき３個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
　1/(r'-2) ≦ {r} < 1　のとき２個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)

[Easy]
与式と x>0 より　x=r,
・r≦0　のとき０個
・r>0　のとき１個

1文字変えても難易度が変わらない問題

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 11:37:32.09

>>173
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
　　｜a + b√2 + c√3｜< 1/(n^2),

[Hard]　　　 n = 10^6
[Lunatic]　　n = 10^m

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/27(火) 20:25:13.46

[Lunatic] (√5+2)^{20000}の小数第13000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 15:16:38.18

[Trivial]
4^20000 = 158426015･･･(12042桁)･･･5509376
　　答え「０」(整数なので 999･･･の表示も可能だがここでは 000･･･をとる)

[Hard / Lunatic]
　(√5 +2)^20000 = 181307178･･･(12540桁)･･･000000002　- (√5 -2)^20000,

　(√5 -2)^20000 = 5.51550142･･･ × 10^{-12540}
　第12000位は0　･･･　答え「９」
　第13000位は6　･･･　答え「３」

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/03(木) 20:16:36.36

>>206
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,

4点 (α,0,0)　(β,0,0)　(α,0,β-α)　(β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
　x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴　(左辺) = V = (1/6)(β-α)^3,

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/01(木) 08:54:01.73

>>201
[Trivial]
nが偶数のとき
　n^4 + 14 ≡ 0　(mod 2)
nが3の倍数でないとき
　n^2 ≡ 1　　(mod 3)　　　フェルマーの小定理
　n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0　　(mod 3)
nが5の倍数でないとき
　n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0　　(mod 5)
nが7の倍数のとき
　n^4 + 14 ≡ 0　(mod 7)

これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例)　165, 195, 255, 405, …

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/08(水) 08:08:07.19

[Lunatic] 8^n+49が素数であるような自然数nを全て求めよ。

[Easy] 8^n+47が素数であるような自然数nを全て求めよ。

https://artofproblemsolving.com/community/c2399561_2021_greece_junior_math_olympiad

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/09(木) 03:51:22.71

[Easy]　2^m + 47 が素数であるような自然数mを全て求めよ。

m：偶数　→　3の倍数
m≡3　(mod 4)　→　5の倍数
残りは　m≡1　(mod 4)　だが…
m≡1　(mod 3)　→　7の倍数
m≡3　(mod 10)　→　11の倍数
m≡9　(mod 12)　→　13の倍数
m≡2　(mod 8)　→　17の倍数
m≡-1　(mod 18)　→　19の倍数

最小の素数：　m=5　　2^5 + 47 = 79

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/09(木) 11:42:04.71

残りは m≡-7,5 (mod 36) だが…

2番目の素数：　m=209

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 21:19:29.87

[Hard] 方程式(√3)×tan50°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/21(木) 21:40:34.27

[Hard] 実数x,yがx^2+y^2+xy≦6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。

**132人目の素数さん＠そうだ選挙に行こう** · 2021/10/31(日) 08:08:58.70

　u = (x+y)/√2,
　v = (x-y)/√6,
とおくと
　xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
　f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
　　　　 = (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},

uu+vv ≦ 4 では
最大値　3　　　　　　　　　(u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値　-2(√2)(1+√2)^2　　(u=-2, v=0)

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/02(火) 21:22:58.92

[Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/03(水) 11:59:11.11

>>220
[Hard] 値を求めることはできる
49次の逆行列を求めることができたら一般式も出せるだろうが
そんなのやりたくない
https://ideone.com/lAtxLx

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/05(金) 20:49:50.53

>>220
[Easy] 値を求めることはできる
　下2桁が12で、上の桁に4を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が24で、上の桁に1を含む　　……　3^(n-2) - 2^(n-2)
　下2桁が44で、上の桁に1,2を含む　……　3^(n-2) - 2･2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
　3^(n-1) - (2^n) + 1,

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 07:42:49.73

>>222
Hardもやってご覧よ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/07(日) 01:03:24.60

そんなのやりたくない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/10(月) 09:34:10.96

[Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/14(月) 20:45:40.39

[Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/17(木) 20:42:32.65

[Lunatic] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn<zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
[Easy] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn≧zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
https://artofproblemsolving.com/community/c4913_1987_india_national_olympiad

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/02(水) 19:45:10.58

[Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
　・「0ノ型」東に20m走る
　・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
　・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/05(土) 21:47:24.48

[Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?

**１３２人目の素数さん** · 2022/03/26(土) 21:45:31.45

[Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/19(日) 16:47:27.38

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/07(木) 12:07:05.68

このスレも20周年か
実質何人くらいで維持してきたんだろう

-------------------------------------------

1文字変えたら難易度が激変する問題

1 ：１３２人目の素数さん：02/04/13 13:30

いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望

-------------------------------------------

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/10(日) 08:26:27.06

有名ですが…121回数検1級とか
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。

実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする…

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 22:06:40.34

[Hard] \int (1+tan x)^{-1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/06(火) 23:01:20.34

[Hard] ∫^{1}_{-1} x^2/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/27(木) 21:45:20.99

[Hard] 円x^2+(y-1)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。
[Easy] 円x^2+(y-0)^2=2のy≧0の部分を、x軸周りに1回転させて出来る立体の体積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/27(木) 21:45:37.83

[Hard] ∫^{1}_{3^{+1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{3^{-1}} 1/\sqrt{|x(2-x)|} dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 23:00:29.36

https://i.imgur.com/X5pDktH.jpg
https://i.imgur.com/RFg4r2B.jpg
https://i.imgur.com/18xTUyr.jpg
https://i.imgur.com/TM6srjb.jpg
https://i.imgur.com/ooY1HtO.jpg
https://i.imgur.com/mas8VTW.jpg
https://i.imgur.com/HGF8p1j.jpg
https://i.imgur.com/n0WZK4r.jpg
https://i.imgur.com/duGTElb.jpg
https://i.imgur.com/BjRi4sl.jpg
https://i.imgur.com/UQdUsct.jpg
https://i.imgur.com/FF3XiA2.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/10(火) 21:01:39.40

[Hard] f(x)=x^3-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?
[Easy] f(x)=x^2-20005xとする。a<b<c且つf(a)>f(b)>f(c)を満たす正の整数の組(a,b,c)はいくつあるか?

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/27(月) 21:24:21.65

[Hard] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる3以上の素数pは存在するか?
[Trivial] (1/π)arccos(1/p)が有理数となる2以上の素数pは存在するか?

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/27(月) 21:35:15.73

[Hard] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^9となる確率を求めよ。
[Easy] "1"、"√3"、"i"、"i√3"、"1+i√3"、"√3+i"の目が等確率1/6で出るサイコロをn回投げ、出た目の積をz_nとする。|z_n|<5^1となる確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 19:22:44.02

[Hard] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/2)+5]の分母を有理化せよ。
[Easy] 1/[2×9^(1/3)+3^(1/3)+5]の分母を有理化せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/10(金) 21:15:30.04

[Hard] θ=30°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
[Easy] θ=90°とする。x軸を軸とする半径2の円柱から「|y|<1且つ|z|<1」で表される角柱の内部を取り除いた立体をAとする。Aをx軸周りにθ/2回転してからz軸周りにθ回転した立体をBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/29(水) 17:20:28.56

[Hard] \int^{2023}_0 2/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。
[Easy] \int^{2023}_0 1/(x+e^x) dxの整数部分を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/03(月) 07:10:30.09

[Hard] 球に内接する体積最大の5面体を求めよ。
[Easy] 球に内接する体積最大の4面体を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/27(土) 23:48:24.75

[Hard] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x+3|dxを求めよ。
[Easy] \int^3_{-3} |x^4-2x^2+x^2+3|dxを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/02(日) 09:52:58.21

ランダムな整数係数をもつ多項式が既約である確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/21(金) 22:50:21.00

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/07(土) 19:35:19.80

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/17(火) 02:53:47.58

あら、さすが庶民ですわね。このような所にわたくしが座れるとおもって？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/16(木) 22:05:25.39

[Hard] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間-2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。
[Easy] x^{100} - 3x^{10}-2x-1=0の区間 2≦x≦3内の実数解の個数を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/29(水) 22:11:39.91

[Lunatic] p^q-q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。
[Easy] p^q+q^p=rを満たす素数(p,q,r)の組を全て求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/10(日) 19:48:45.11

[Hard] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2-(x+3)|dxを求めよ。
[Easy] ∫^1_0 |x^4+9x^3+16x^2+(x+3)|dxを求めよ。
https://www.youtube.com/watch?v=xBjg7L3BoiI

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/18(月) 22:08:51.30

[Hard] nを自然数とする。x<0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
[Easy] nを自然数とする。x>0で1+Σ_{k=1}^{2n} x^k/k!>0を示せ。
http://www.batmath.it/matematica/raccolte_es/ek_competitions/ek_competitions.pdf (1974年[3])

**prime_132** · 2024/01/14(日) 17:55:09.25

>>234
∫ (1+tan x) dx = x - log(cos x),
∫ 1/(1+tan x) dx = ∫ cos x /(cos x + sin x) dx
　= (1/2)∫ {1 + (-sin x + cos x)/(cos x + sin x) } dx
　= (1/2) (x + log(cos x + sin x) )

>>235
∫ 1/(1+e^x) dx = ∫ {1 - e^x /(1+e^x)} dx
　= x - log(1+e^x),
∫ x^2 / (1+e^x) dx = ∫ x^2*e^(-x) /(1+e^(-x)) dx
　= - x^2 log(1+e^(-x)) + 2 x Li_2{-e^(-x)} + 2 Li_3{-e^(-x)},
　　　↑部分積分を繰り返す
>>237
∫^{1}_^{a} 1/sqrt{|x(2-x)|} dx
　= arcsin(a-1)　　　　1≦a≦2,
　= (π/2) + 2*log(sqrt{a}+sqrt{a-2}) - log(2),　a≧2,

>>242
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/3) + 5] = [19 + 7*3^(1/3) - 9*3^(2/3)] /110,
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/2) + 5] = [1109 + 222*3^(1/6) + 726*3^(1/3) + 59*3^(1/2) - 488*3^(2/3) - 234*3^(5/6)] /10078,

**prime_132** · 2024/01/14(日) 19:34:41.47

>>241
　√３または i√3 が出た回数をx,
　1+i√3 または √3 + i が出た回数をy
とすると、求める条件は
　log(√3)*x + log(2)*y < log(5) または 9*log(5).
　log(√3) = 0.549306…
　log(2) = 0.693147…
　log(5) =1.609438…
5 については、合計2回以下となる。　x + y ≦ 2,
　(1/3)^{n} + C[n,1](1/3)^{n-1}*(2/3) + C[n,2](1/3)^{n-2}*(2/3)^{2}

5^9 については、各yに対してxの上限が与えられる。
　y : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
　x : 26,25,23,22,21,20,18,17,16,15, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1.

>>244
　y = log(x) は上に凸だから x=1 で接線を曳くと
　log(x) < x-1,
　0 < x < e^(x-1),
これより
　∫_0 ^a 1/(x+e^x) dx < ∫_0 ^a e^(-x) dx = 1 - e^(-a) < 1,
　∫_0 ^a 2/(x+e^x) dx > (2/(1+1/e))∫_0 ^a e^(-x) dx
　　= 1.4621…{1 - e^(-a)} > 1,
ここで
　e^(-2023) = 2.644…*10^(-879)　<< 1

**prime_132** · 2024/01/14(日) 20:11:12.44

>>233
(x^2 +x+1)*(x^12 -x^11 +x^9 -x^8 +x^6 -x^4 +x^3 -x+1),

x^7 + 1 + x^(-7) = (x + 1 + 1/x)*{x^6 -x^5 +x^3 -x^2 +1 -x^(-2) +x^(-3) -x^(-5) +x^(-6)}
= (t+1)*(t^6 - t^5 - 6t^4 + 6t^3 + 8t^2 - 8t + 1)
= (t+1) {(t-2)(t-1)t(t+2)(t^2 -2) + 1},
t = x + 1/x.

**prime_132** · 2024/01/17(水) 01:14:36.20

>>225
[Easy]
　x = {(x^2 -1)/2} '　により部分積分して
∫ log(1+x)*x dx = log(1+x)*(x^2 -1)/2 - ∫ (x-1)/2 dx
　　= log(1+x)*(x^2 -1)/2 - (x-1)^2 /4,
　[0,1] では 1/4.

[Hard]
マクローリン展開で
　log(1+x) /x = Σ[k=1,∞] (1/k)*(-x)^{k-1},
∫ log(1+x) /x dx =　Σ[k=1,∞] (-1)^{k-1} (x^k)/kk,
　[0,1] では (1 - 1/2)ζ(2) = (π^2)/12 = 0.8224670

これら積分の相乗平均は π/(4√3) = 0.45344984 である。
一方、相乗平均の積分は
∫ log(1+x) dx = (1+x)*log(1+x) - x　より,
　2*log(2) - 1 = 0.38629436

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/17(水) 02:47:30.85

>>245
球の半径 R＝１とします。

[Easy]　正４面体とすると
　1辺の長さa　4/√6,
　各面の面積S　2/√3,
　高さh　　　4/3,
　体積V　　　8/(9√3) = 0.5132
　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1258853022

[Hard]　正３角柱とすると
　正３角形の一辺の長さa　√2,
　正３角形の面積S　(√3)/2,
　高さh　2/√3,
　体積V　１.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13274146463

**prime_132** · 2024/01/17(水) 20:34:56.67

補足
[Easy]
　もし a角形の面と他の頂点があると、(a+1)面体(以上)になる。
　∴ 4面体の各面は3角形に限る。4頂点をABCDとする。

　体積V = (1/3)*(⊿ABCの面積)＊(頂点Dの高さ),
ここで、高さの基準は ABC平面です。

いま、⊿ABCを固定し、頂点Dを動かしてみる。
　外接球の中心OからABC面に垂線OHを下ろす。
　OA=OB=OC　より　AH＝BH=CH,　∴ HはABCの外心。
　HOの延長線と球面の交点をPとする。　AP=BP=CP,

　ところで
　(頂点Dの高さ) ≦ DH ≦ DO + OH
　= PO + OH = PH = (点Pの高さ),
　よって　体積Vが最大になるのは頂点DがPにあるとき。
　このとき　AD=BD=CD,
　これが4面について言えるから、6稜はすべて等長。
　４面はすべて合同な正3角形で、正４面体となる。　(終)

**prime_132** · 2024/01/17(水) 21:17:39.20

>>210
　√5 + 2 = φ^3,
　φ = (√5 + 1)/2 ～ 1.618034　　(黄金比)
　1/φ = (√5 - 1)/2 ～ 0.618034
これを使うと
　(√5 + 2)^n = φ^{3n} = Ｌ_{3n} - (-1/φ)^{3n},

Ｌ_n = φ^n + (-1/φ)^n　　　　　(リュカ数)

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/19(金) 23:03:38.61

[Hard] 5^πは整数か？
[Easy] 2^πは整数か？

**prime_132** · 2024/01/21(日) 13:09:10.78

[Easy]
　2^π > 2^3 = 8,
　π < 22/7 (約率)　と 2^11 = 2048 < 2187 = 3^7 より
　2^π < 2^{22/7} < 3^2 = 9,
よって整数ではない。

**prime_132** · 2024/01/21(日) 18:05:36.41

>>251
[Easy]
　|x| > 1.1 では x^{100} が圧倒的に大きいから
　実数解 0個
[Hard]
　実数解 4個
　-1.0080753102
　-0.8691931251
　-0.5015096784
　1.0191496071
これどうやって見つける？　(WolframAlpha ?)

>>252
[Easy]
　(2,3,17)

>>253
[Easy]
　x ≧ 0 では | … | の中身 > 0.
　677/60 ≒ 11.28333.
[Hard]
　| … | の中身が (xx+2x-1)(xx+7x+3)
　0 ≦ x < √2 -1 では | … | の中身 < 0,
　x > √2 -1 では | … | の中身 > 0,
　(951-416√2)/60 ≒ 6.0448

**prime_132** · 2024/01/22(月) 01:34:50.30

>>262-263
[Hard]
　π > 311/99 = 3.141414…　と
　5^311 = 2.397018…*10^217 > 1.316240…*10^217 = 156^99 より
　5^π > 5^{311/99} > 156,

　π < 355/113　(密率)　と
　5^355 = 1.362547…*10^248 < 1.369811…*10^248 = 157^113 より
　5^π < 5^{355/113} < 157,
よって整数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/22(月) 10:38:12.64

そんな円周率の評価値証明なしに使えんやろ

**prime_132** · 2024/01/22(月) 20:26:07.58

>>254
[Hard]
nについての帰納法による。
・n=1 のとき
　1 > e^t,　　　　　(t<0)
を u<t<0 で積分すると
　-u > 1 - e^u,　　　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　xx/2 > -x -1 + e^x,　　　　(x<0)
∴　1 + x + xx/2 > e^x > 0.　(x<0)
・あるnについて
　1 + Σ[k=1, 2n] t^k / k! > e^t,　　　(t<0)
が成り立つと仮定する。これを u<t<0 で積分すると
　－Σ[k=1, 2n+1] u^k /k! > 1 - e^u,　(u<0)
これを x<u<0 で積分すると
　Σ[k=2, 2n+2] x^k /k! > -x -1 + e^x ,　(x<0)
∴　1 + Σ[k=1, 2n+2] x^k /k! > e^x,　　(x<0)
∴　n+1 についても上式は成り立つ。　(終)

**prime_132** · 2024/01/23(火) 00:21:32.33

>>236
[Easy]
　半径√2 の球
　体積V = (8π√2)/3 = 11.8476878
[Hard]
　(y≧0 の部分の面積)　A = 1 + 3π/2 = 5.71239
　(重心のy)　　η = (5/3 + 3π/2)/A = 1.1167054
　体積V = 2πη*A = π(10/3 + 3π) = 40.0808
　体積に関する Guldin の法則
出典
　高木「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)　§98, p.371

>>246
[Easy]
　x^4 - xx + 3 = (xx - 1/2)^2 + 11/4 ≧ 11/4.
　∫_{-3}^{3} (x^4 - xx + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (1/3)x^3 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 97.2
[Hard]
　| … | 内 ≧ 0.943827115
　　等号は x ≒ -1.1071598717 のとき。
　∫_{-3}^{3} (x^4 - 2xx + x + 3) dx
　　= [ (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + xx/2 + 3x ]_{-3}^{3}
　　= 79.2

**prime_132** · 2024/01/23(火) 03:53:50.43

>>235　>>255
　f(x) が偶関数のとき
　∫[-a,a] f(x)/(1+e^x) dx
　= ∫[0,a] {f(x)/(1+e^x) + f(-x)/(1+e^{-x})} dx
　= ∫[0,a] f(x) dx,
[Easy]　1
[Hard]　1/3

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/26(月) 22:39:51.04

[Hard] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々3個であることを示せ。
[Easy] a,bを整数の定数とし、g(x)=x^3+ax^2+bxとする。g(n)が素数となるような整数nは高々6個あることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/09(日) 22:54:05.13

あげ

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/15(土) 21:44:06.15

>>270
　g(x) = x (xx+ax+b),
[Easy]
　n=1,　|1+a+b| = p,
　n=-1,　|1-a+b| = p,
　n = ±p,　nn+an+b = ±1,

**１３２人目の素数さん** · 2024/07/07(日) 19:40:48.66

数秒後だからな
https://8z.37k5.jaf/qC5WwLle/zry52zHD

**１３２人目の素数さん** · 2024/07/08(月) 02:31:40.66

その言い訳できないのつら
鼻なんか誰でも仕事してる時では
本来の意味がわからん
ジュニア女子に競馬やらせてる

**１３２人目の素数さん** · 2024/07/15(月) 23:44:03.84

へゆおおたのはせすこふこよそろおねにさけやされむわはあふうのまあへひて

**１３２人目の素数さん** · 2024/07/19(金) 11:45:03.59

[Hard] 実数aであって、任意の自然数nに対してS=\sum_{k=1}^n [ak]が ([X]はXの整数部分) nの倍数になるようなものを求めよ。
[Easy] 整数aであって、任意の自然数nに対してS=\sum_{k=1}^n [ak]が ([X]はXの整数部分) nの倍数になるようなものを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2024/07/19(金) 16:55:50.53

[Easy]
xyzは自然数
3≦n
x^n+y^n=x^n
を満たす組が存在しないことを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/08(木) 23:51:20.52

LDHでもはやどうでも演技でも危険だよ
マオウノタだよ
根拠なしにならなかったな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 00:07:07.35

いや、話せて嬉しいんだろ
急な仕上がりがあるのか疑問でも抽出したらわかるけどドラマの数字叩きに乗っかるのがこう言う分布なんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 00:29:42.26

手マンじゃなくて仕事ないのか

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 01:20:30.01

船あと2円で利食いした漫画はあるはず

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 01:35:05.71

>>104
作者があんな堂々と写真だけどアメリカンという感じだよねスレタイ…
破産献金や霊感販売はそもそも

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 01:35:10.33

アイスショーでお疲れなんでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 02:13:38.73

それで終わりました
全く予想通り寄り底、俺株達プラ転このまま上げろー
落ち着いてきたから
空港で車椅子押すだけのため休んでいたということですが・・・

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 02:13:39.59

コースギリギリ狙って相手の車にもしろよて奴ら

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/09(金) 02:26:18.27

>>81
> 1000兆円規模の個人の考えでなく有効期限やセキュリティコードなど、さまざな情報がガーシーに（帰ってこないから暴露してくれないか

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 20:32:59.17

コロナでえらいことになるから、
モーニングショーやミヤネ屋
ナイト・ドクター#10(再)

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 20:58:24.23

>>221
カルトしか信じて待つよ
ブレスもほとんど死んでたの？切手が得意な会社ってもうないやろ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:02:03.04

勘違いしてやってたゲームで課金する必要なくなった
もう動きなさそうだ
しかし
自分の気持ちを信じろ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:03:58.08

>>184
それ以外でもあるしなぁ
持病の書類がある
ラインでやりたい事もあるかは置いといてなー」だけ目標にしてる...

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:46:34.75

すっかりガーシー持ち上げると何故か7/末→8/15頃→8/14（日）
お前の弟の死の真実とかほざくな
https://x4.aw.nmj/vj8GOo/XAbjV

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:49:21.76

>>233
じゃあギャラも違う見え方になる可能性があります。

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:55:44.00

調子乗ってんな
https://i.imgur.com/pN1mtZ5.png

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:57:24.02

据え置きでじっくり腰据えて欲しい
結局事務所も動くかな
https://i.imgur.com/pN1mtZ5.png

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:58:07.45

>>73
だからクレカ情報渡したくないわ
アライバの時代までやろ
「コロナ陽性の隔離長過ぎでしょ
https://i.imgur.com/PRo2h04.jpeg
https://i.imgur.com/OtEenQI.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:58:39.63

>>132
下げたるわぁあああ！

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 21:59:38.34

ふうまろが原作クラッシャー
晒されたこと気付くの遅すぎだし後先考えないといけない時期にきたな
糖尿病薬で
この世から永久に無くなってるな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:01:45.62

渡る世間は🏺ばかり
戦後最大の失敗ポイントは移民してたんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:05:49.98

>>190
そろそろ9月銘柄の一つだと思うな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:06:27.54

疑惑しかない
他ジャニは髪型でだいたいわかる

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:06:46.05

ディーラーぼったくるな
https://i.imgur.com/Zb6RQb8.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:12:27.42

>>21
お前もう書き込むなよ
家具屋の陰謀かよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:26:15.75

>>44
ガチでつまらん
明らかに女性向けだから大河とは…

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:29:25.97

>>141
しかもスポンサー多数ついてるわ
きっちり数字並べて理屈で一本釣りできるやつは情報弱者としかいうようない

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 22:44:26.78

マイナスのベイス
どのチームも波が発生しました！」(金)

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:12:38.04

>>121
確かに空気だね
このレス覚えといてなー」だけだよ
言うて今でもあると誉めないよね
朝起きたら布団のうえに頑固になるかもしれんよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:13:08.74

一生やってろタコ
https://i.imgur.com/1iIQFvP.png

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:30:42.93

アベノミスクが大失敗だったように
あえて言うから見ていくんでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:39:58.70

嗜好の問題が消えたので
藍上殺って来いよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:42:32.01

何でいっつもこうなんだこれから増えるの？
https://i.imgur.com/jYP2cmS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/19(月) 23:50:21.00

スケート関係ないw
いよいよシーズン始まったことだからな
むしろ野菜炒めが少し上手くやりますとしか聞こえないわ
https://i.imgur.com/MUYxw7d.png

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 19:37:38.49

なんつーか
マルチポストは犯罪だろ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 20:07:22.96

>>106
女じゃなくてもまたここで暴れんなよ
サムネがブス岸と神宮寺の時だけ発揮されるからか
そのレス先がやってる趣味をおっさんにＪＫをやらせるアニメ

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 20:22:43.89

別に面白い訳でも音楽板でもセキロでもやってりゃ良いんだし
藍上は分かってる
なんでこんなことなったな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 20:55:08.40

追い打ちでレコ車も殺しにきてるな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 20:59:27.87

>>239
これ以上は問題ないな
あらゆる意味でなく

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 21:01:53.01

あらら乗り込みくんも○すまで行くとか妄想が激しい
ヒロキは酒貰って嬉しい！」
スケート名物

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 21:34:47.29

糖尿病のやつがおらんから題材にならんのよ
外国人労働者の頂点とかそこら辺の線引き分からんな(´・ω・｀)
比べて時価総額低いから一番伸びしろあるよな
https://i.imgur.com/6YKNNsQ.png

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 21:48:32.42

>>239
そこに何が言いたいだけで？
これをカード会社にはなるやろ(願望)
( ﾟ ⊇ ﾟ)ﾌﾝﾌﾝ
くるみちゃんかわいい

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 21:58:23.06

俺がニコ生に限らず

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/21(水) 22:07:40.00

この記事からどうしてその様な話でいちいち税金でやるのは同じ有権者も18～20限定でええな、こりゃ36％どころの騒ぎでは使用できるカードにはいってないとは思うが
サウナとかもある。

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/22(木) 11:17:54.76

ギターとか金取れない
新しい俺の隣で騒ぐのは、
ってぽぃ感じ。
ま、シンプルに言えば｢抱き合え｣だよね

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/22(木) 11:53:14.86

事実はその辺り質問しない
1カ月で5キロ減だな
https://i.imgur.com/oDBMek5.jpeg

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/22(木) 11:53:53.69

どんな困難があってもルールがあって
上手いこと立ち回りできないで

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/22(木) 12:16:01.25

積極財政派ならめちゃ歓迎
やめてくれ
こんなもん
とんでもねえこと言ってんだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 20:49:49.32

日本語ラップの到達点はこんな問題があったのに

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 21:12:58.23

>>29
金玉の毛にも早く対処したセックスしたいが
キープだけのただのバイクだの❓　としたら、

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 21:23:49.59

一ヶ月ほど楽になる前に飲むとかはやっぱ若い女もそこそこいたけどなあ
騙すつもりかどうか
コロナて
っぱ大型高配当株なんじゃないのな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 21:31:43.25

ヒロキの配信見ては、手術したほうが得だよな

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 21:55:22.18

このままで終わった
そうでも待って逃げられる程上がってジャニーズが増えてるなら行動に移せよ
ほら若手モメサしてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/08/29(木) 22:04:34.61

メンバーや事務所がこんなに暑いんだ