現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/07/15(金) 21:10:49.59

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:27:08.32

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:27:25.61

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:27:41.97

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:28:04.63

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:28:22.59

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 15:28:40.36

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**１３２人目の素数さん** · 2016/08/10(水) 16:06:46.47

議論というよりスレ主が一方的にボコられてるだけのような。。。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 16:58:35.05

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>1 ：名無しさん：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5470 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/06(土) 17:43:47 ID:???
> ￥
>
>5471 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 06:25:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5472 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 08:32:51 ID:???
> ￥
>
>5473 ：kmath1107★ ：2016/08/07(日) 17:43:49 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5474 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/07(日) 17:54:48 ID:???
> ￥
>
>5475 ：名無しさん：2016/08/08(月) 04:30:59 ID:C9rjCaNs
> 人への念の盗み見による介入を阻むことができれば、多くの人に明るい未来が来る？
>
>5476 ：kmath1107★ ：2016/08/08(月) 10:05:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5475 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:16:58.53

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:17:17.45

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:17:37.37

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:17:57.74

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:18:16.86

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:18:36.37

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:18:57.51

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:19:16.97

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:19:36.27

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￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/08/10(水) 19:19:54.32

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**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 21:15:23.50

￥さん、どうも。スレ主です。
ご健在なによりだ
もうすぐお盆だ
送り火として、どんどん燃やしてもらえば良い（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 21:20:12.04

>>620
どうも。スレ主です。

>時枝解法なんて単なる与太話だし，

Yes! このようなまっとうな発言は、例の”確率論の専門家”さんと私以外では、あなたが初めてだ。ありがとう！

>与太話であることと自体は筆者も認めてるのに

No! 筆者の時枝は当然まじめだよ。見るところ、時枝は与太話ができるキャラじゃない。そこが佐藤幹夫と違うところだろう

>なんでここまで議論が続くのだろう

時枝擁護派が頑迷だからださ（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 21:30:56.80

>>632

どうも。スレ主です。

>議論というよりスレ主が一方的にボコられてるだけのような。。。

ご冗談を
数学的に急所がずれたというか、ピントがずれたというか・・
時枝擁護派の議論は、中身がなく声が大きいだけだからね
効いてないんだよね

しかし、勉強させてもらった
数学基礎論とか、公理と数学的帰納法の関係、非可算集合と決定性公理の話や、ノンスタ、コンパクト性定理・・・
渕野先生のPDFは、大変勉強になりました

￥さんには、確率過程論の歴史を教えて貰った
塑性力学の理論で有名なフォン・ミーゼスさん、確率論も研究していたんだね

佐藤超関数も、発表当時のPDFを見つけたし
一変数のときは簡単だが、多変数関数のときの佐藤超関数の扱いも、佐藤幹夫先生は最初から結構深いところまで書いていたんだね～（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 22:05:48.30

時枝記事関連で
近代確率論を「もう一度見直す時期に来ている」という￥さん

はっと思い出したのは、量子力学の確率解釈と繰り込み理論
昔は、量子力学は未完成みたいな雰囲気があったねと

いつのまにか、繰り込み可能性が理論の正当性の裏付けになっていった
が、量子力学、素粒子理論、重力理論、ここら全部未完成ってことなんだよね

重力との統一理論が出来てないとか
宇宙が膨張していることのきちんとした説明がつかないとか
ダークマターやダークエネルギーの正体が不明とかね

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 22:39:05.50

それから、数学で証明は大事だが、全てを自前でやろうというのは、もう無理じゃないかな
高木貞治の時代とは違う

例えば、有限単純群の分類定理
何万ページになるか分からないという

何万ページでなくとも、一つの論文で数百ページ
その一つの論文を読むためにまた何百ページを・・

数学を山登りに例えるときがある
いま、エベレストに登るのに、シェルパを雇ってキャンプを作って酸素ボンベなどの重装備で登るのが普通だ

いまの数学の最高峰はそんな感じじゃないですかね
高木貞治の時代は、徒歩で登れる未踏峰の山が沢山あっただろう

エベレストを本当にゼロメートルから徒歩で無防備で登るなど狂気のさた
生きて頂上に立てるかどうかだ

そういう意味では
共同研究と共著が増えているように思う

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 23:08:54.18

シェルパを雇ってキャンプを作って酸素ボンベなどの重装備の例えで言えば
共同研究以外に、コンピュータの利用がある

有限群論では結構使われたそうだし
４色問題は有名

下記の最近のケプラー問題などもそうかも
http://wired.jp/2014/09/21/sphere-packing/
2014.09.21 SUN 07:40 400年をかけたケプラー予想の解決は、コンピューターの力も証明した WIRED.jp:

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E4%BA%88%E6%83%B3
ケプラー予想（ケプラーよそう、英: Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーに由来する、三次元ユークリッド空間における球充填に関する数学的な予想である。
それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度が立方最密充填配置（面心立方）ならびに六方最密充填配置を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。

20世紀
解決に向けて次のステップを踏み出したのはラースロー・フェイェシュ＝トートである。彼は、規則・不規則を問わずあらゆる配置の最大密度を求める問題が、有限個の（しかし非常に多数の）計算に還元されることを示した[1]。これはしらみつぶし法による証明が原理的に可能だということである。
フェイェシュ＝トートも気づいていたように、十分高性能なコンピュータがあればここからケプラー予想解決への現実的なアプローチが得られる可能性があった。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/10(水) 23:11:23.63

証明もできないのにさも理解したかのようにほざくアホ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 23:52:36.08

佐藤幹夫先生も数値計算すきだったらしい
例えば佐藤テイト予想を出すときなど https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E3%83%BB%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%88%E4%BA%88%E6%83%B3
https://en.wikipedia.org/wiki/Sato%E2%80%93Tate_conjecture

あるいは、ソリトン問題を扱うときなど
http://slpr.saku ra.ne.jp/qp/soliton/
プログラミングと数値計算, 物理学非線形Schrodinger方程式のソリトン解2015年11月3日 sikino
(抜粋)
1981年に佐藤幹夫がソリトンの統一理論(佐藤理論やKP理論)を発表しました。
これによりソリトン方程式(ソリトンを記述し，かつ厳密に解ける方程式)に決着が付きました。
ソリトン方程式は非線形なのに厳密に解ける、可積分系である。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 23:53:43.18

世の中全てを自力で証明しようとするあほ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/10(水) 23:55:07.28

富士山だって、途中までバスでも車でも良い
まして、エベレストならなおさらだろう

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:01:19.19

そこらは兼ね合いだがね
地力がなければ、頂上に立てない

といって、一番乗りでなければ意味がない
麓から一人で歩いて頂上に辿り着いたら、他の人が居たとすれば無意味だろう

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:06:16.90

ああ、こんな話が・・・（＾＾；

http://www.yomiuri.co.jp/adv/wol/research/kyoso_091013.html
知の共創―研究者プロファイル―：研究力：教育×WASEDA ONLINE:
数理研究の花園を追い求めて――精度保証付き数値計算を極める大石　進一／早稲田大学理工学術院教授
(抜粋)
いざ大学進学となったときには、「文学や数学なんかじゃ食っていけないだろう」という親の圧力に打ち勝てず、理工学部の電子通信学科に進みました。授業の内容はやさしいのでその場で理解し、あとは自分の好きな勉強をしているような感じでした。大学２年生になると量子力学に夢中になって、図書館に毎日通って勉強しました。

　そのうち、量子力学が発見された当時の重要な論文を、英語やドイツ語の原著で読むようになりました。朝永振一郎、ポール・ディラック、リチャード・ファインマンといった、ノーベル物理学賞を取った人たちの論文を、ノートに一字一句、手書きで書き写しながら勉強しました。

　そうこうするうちに大学３年になり、卒業論文のテーマを決めなければならなくなった。「量子力学を使った通信に関連することがやりたい！」と思いましたが、当時の電子通信学科にそんなことをやっている研究室がありません。
せめて量子力学を使って古典力学の問題を解いてみたい――そんな思いの中で、「ソリトン」という非常におもしろい非線形波動のモデルを知って、この問題にぜひ挑戦してみたいと考えました。

　卒論ゼミでは、堀内和夫先生（当時、早稲田大学理工学部電子通信学科教授）に指導を仰ぎました。堀内先生は、電子情報通信分野の研究に関数解析を初めて持ち込まれた研究者の一人で、数学的な研究に高い関心を持っておられた。
堀内ゼミでは、毎週土曜日に東京教育大学（現・筑波大学）の小寺武康先生を招いて、非線形数学のゼミを開いていました。この小寺先生がじつはソリトンの研究をされていて、有名なソリトンの理論の１つ「戸田ラティス理論」を提唱された、戸田盛和先生のお弟子さんでもあった。そんなご縁から、教育大の戸田ゼミにも参加することができました。

　堀内先生の導きもあって、こうした先生方の指導を受けることができ、ソリトンをテーマに卒論を書くことができました。電子通信工学にいながら、物理数学の分野で論文を書いたのですから、かなりの異端児だったといえますね。
つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:09:25.28

>>655 つづき

ソリトンの花園が一転、荒野へ

　大学院に進んでからもソリトン研究を続けました。修士１年の時には、あるクラスの方程式は皆２ソリトン解という２つのソリトンが安定に相互作用することを示す解を持つという新しい定理を発見して、これが戸田先生にとても褒められたのですが、学界で評価されるためには、英文論文を発表しなければなりません。
ところが、なかなか良い英文が書けない。それから２年も七転八倒して、博士課程に進んでからようやく、もっと精緻な理論で英文論文をまとめることができました。

　論文は博士２年の時に、日本物理学会のJournal of Physical Society of Japanという英文論文誌に採録されました。刊行されると、世界各国の研究者から、「抜き刷りを送ってくれ」という請求のはがきを何十通ともらいました。
当時はｅメールもコピー機もない時代ですから、すべて郵便でのやりとりです。はがきはスクラップブックに大切に保存してあります。

　産みの苦しみを経て、それから続けざまに８編も英文論文を書きました。「自分はようやくソリトンという神秘の花園に降り立ったんだ！」と、やる気満々だったのですが（笑）、じつはそれも残念ながら長くは続きませんでした。
というのも、佐藤幹夫先生という天才的な数学者が、代数的なアプローチでソリトンをいくつかの類型に分類してみせてしまったのです。「こういうタイプのソリトンしか現れません」と非常にスマートな説明をされてしまったために、神秘的な花園は一瞬にして、草一本生えない荒野になってしまった。
佐藤先生の研究は、私の研究を出発点の一つとしてずっと先に行ってしまったような側面があり、ソリトンは自分にとって魅力的な研究対象ではなくなってしまったんです。

　１９８１年に博士学位論文を書いた後、１８０度研究の方向を転換して代数的なアプローチでは解けない世界へ行こうと考えました。ただし、厳密に解を得ることは絶対です。数式で解けない世界ってなんだろうということで、コンピュータの「数値計算」の世界へ入っていきました。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:11:49.06

>>656 つづき

諦められていた数値計算の精度

当時、数値計算の世界では、この演算の誤差を無視すること――専門用語では「丸め」とか「丸める」とか言いますが、丸めの誤差は無視する、なかったものとして諦めるのが当たり前とされていました。
そういう世界に私のような者が入っていって、「いや、精度は保証すべきです。私は決して諦めません」と宣言したのだから、かなりの異端児とみられたと思います。しかし、厳密な解を求めたい私にとっては諦めることはあり得なかったのです。

　研究室の学生や海外の研究者仲間のユニークなアイディアの助けもあって、それから７、８年の間に、予想をはるかに超えるスピードで、精度保証付き数値計算は実用のものになっていきました。
そのころ、海外の共同研究者と深く討論していくうちに「精度を保証しても、計算スピードが通常の何千倍、何万倍もかかるのだったら、だれも使ってくれない。２倍程度の手間で精度保証することを目指すのが絶対必要だ」ということになりました。
これは難しいことですが、１０年近く研究してきた中でふと思い至ったアイディアがありました。実際、精度保証は近似解計算の１万倍かかると思われていたものが、ある単純な方法により、２倍に圧縮することができました。

　簡単にいうと、「演算というのは１つ１つ順番にやるものだ」という固定観念から離れてみたんです。従来の考え方だと、１００個の演算に対して、誤差も逐一丸めていくことになります。
しかし、１００個の演算を一度にまとめてやるという考えに立ってみれば、丸めもその全体に対して行うという考え方ができます。まさにコロンブスの卵、「１０年間、なんでこんな簡単な方法に気づかなかったんだろう」と思ったほどです。

　この考え方であれば、既存のプログラムの中身をいじることなしに、プログラム全体の冒頭に精度保証のためのプログラムを新たに付加するだけでいいので、計算スピードに加えて、スケーラビリティもきわめて高いものとなります。
この方法論の変革によって、実用化が完全に射程に入るとともに一気に研究が進展し、１９９９年に『精度保証付き数値計算』という本を世に出すことができました。「誤差なし計算＝Error-free transformation」という新研究分野の提案もでき、これがわが研究室の看板となりました。

引用おわり

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 00:14:30.53

つべこべ理屈捏ねてないでさっさと証明しろアホ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:20:26.54

>>657 補足

>　簡単にいうと、「演算というのは１つ１つ順番にやるものだ」という固定観念から離れてみたんです。従来の考え方だと、１００個の演算に対して、誤差も逐一丸めていくことになります。
>しかし、１００個の演算を一度にまとめてやるという考えに立ってみれば、丸めもその全体に対して行うという考え方ができます。まさにコロンブスの卵、「１０年間、なんでこんな簡単な方法に気づかなかったんだろう」と思ったほどです。

ここだな。ポイントは
ある天才が居て、なんでも自分で解いて証明することができた。彼は、現代数学の過去１００年の数学をすべて自力で解いて証明したとする。まあ天才だが、すべて再発見、再証明

ある人が、コロンブスの卵
簡単なことかも知れないが、ぱっとひらめいて、なにか計算の精度を上げる方法を考えた。それは、いままでに無い方法だったから、それなりに評価されたのだった

どちらが良いか
明らかだろう

世の中
そういうものだ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 00:21:14.15

>>658
くやしいのう
時枝擁護派

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 00:42:17.70

俺は数学的帰納法を証明しろと言ってるんだが
それに対するお前の反応
＞くやしいのう
＞時枝擁護派
アルツハイマーか？

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 00:54:49.83

記事の文脈を読み取れなかった国語力が残念なスレ主さん、>>380を読んでね

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 01:05:35.88

>>620
ほほう、与太話ねえ。与太話ってどういう意味？
取るに足らない話だ、って意味？

なら教えてくれますか？
下記[1]～[3]は正しいのか？
それともx,y∈R^Nのどちらを選んでもゲームに勝てないのか？

> >［1］x,y∈R^Nがそれぞれ自然数dx,dyに紐づいている
> >［2］であれば、xとyのどちらかを選べば、大きい自然数を選んだか、または小さい自然数を選んだことになる
> >［3］大きい自然数を選べば負け、小さい自然数を選べば勝ち

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 08:25:13.91

>>656 補足

>佐藤幹夫先生という天才的な数学者が、代数的なアプローチでソリトンをいくつかの類型に分類してみせてしまったのです。

下記ご参照
http://researchmap.jp/takebe/%E8%B3%87%E6%96%99%E5%85%AC%E9%96%8B/
資料公開
http://researchmap.jp/muc6bjl2m-26435/?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=33599&metadata_id=15246
ソリトンの数学講座「数学の発見」（数学書房主催）2008 年 5 月 31 日配布

http://researchmap.jp/takebe/
武部尚志 - 研究者 - researchmap:

プロフィール
可積分系全般（古典系 (KP, Toda hierarchies やその無分散極限)、量子系 (可解格子模型の Bethe Ansatz, 特に楕円型 R 行列で定義される XYZ 模型、8 vertex model, さらにそれらに対応する Gaudin 模型)) を研究しています。
2009 年からロシア国立大学経済高等学校数学学部（モスクワ）に移りました。

経歴
2009年Higher School of Economics (Russia), Faculty of Mathematics Professor
2007年 - 2009年お茶の水女子大学大学院・人間文化創成科学研究科准教授
1999年 - 2007年お茶の水女子大学理学部助教授
1992年 - 1999年東京大学大学院・数理科学研究科助手
1991年 - 1992年東京大学理学部数学科助手

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 08:42:51.08

>>664 補足

梶原健司”数学を学んでいると，ともすればその精緻さと壮麗な体系に圧倒されがちですが，この記事で数学が「生きている」さまを感じていただければと思います． ”
辺りは、>>197の￥さんが言ったような問題意識>>5と通じるものがあるだろう
http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/lectures/koukaikouza/text.pdf
公開講座の資料「ソリトン～不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語」梶原健司入門レベル 2002年 8月9日，公開講座「現代数学入門」での講義

http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/
梶原健司

「ソリトンと逆散乱法：歴史的視点から(1)」(ロバート・ミウラ著，及川正行・梶原健司訳)　数学セミナー2008年8月号
「ソリトンと逆散乱法：歴史的視点から(2)」(ロバート・ミウラ著，及川正行・梶原健司訳)　数学セミナー2008年9月号

特に，ロバート・ミウラ氏の記事は，数学科で学ぶ人には是非一度見ていただきたいと思います．
20世紀後半以降の数学に大きな影響を与えた，新しい数学が創造された時の現場での証言です．
数学を学んでいると，ともすればその精緻さと壮麗な体系に圧倒されがちですが，この記事で数学が「生きている」さまを感じていただければと思います．

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 08:57:39.67

>>665 補足

これ、連載の７だから、下記の学会誌「ながれ」のバックナンバーを探せば、連載全部そろうだろう
日本流体力学会誌だから、数値計算向けに分かり易く書いていると思う
http://www.nagare.or.jp/download/noauth.html?d=32-2rensai.pdf&;dir=67
連載?非線形波動－ソリトンを中心として－第7章　佐藤理論入門及川正行 (Adobe PDF416KB) ながれ第32巻 (2013)

http://www.nagare.or.jp/publication/nagare.html
刊行物 :: 学会誌「ながれ」｜一般社団法人日本流体力学会:

http://www.nagare.or.jp/publication/nagare/archive/2013/2.html
ながれ :: 第32巻 (2013) :: 第2号 2013年4月発行

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 09:34:36.10

>>665 補足

十河清先生北里を定年退官されたとあるが
http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/hisenkei/sogo/mathphys.pdf
数学と物理学の間北里大学　理学部　物理十河清（「1995 年度八王子数学ジュニア・セミナー夏の学校」における高校生向け講義レジュメ）

http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/hisenkei/sogo/sogo.html
北里大学理学部物理学科十河　清東京大学大学院理学系研究科博士課程修了。理学博士。

専攻は統計力学，数理物理学。「素朴な疑問」を研究の糧にしたいと考えています。わからないことだらけなのですが，現在の関心は「なぜ時間反転不変性が破れているのか？」という，いわゆる時間の矢に係わる問題群です。月並みな言い方をすれば「非平衡統計力学」ということになります。

また，学生時代にバクスター熱という新型イジング病に罹って以来，厳密に解ける問題に心引かれる習性がもはや本性となっていますが，そもそも「なぜ完全積分可能系などというものがあるのか？」というのも謎です。最近は「離散＆周期ソリトン系」という特殊な種族の可積分系に熱中しています。

http://ha2.seikyou.ne.jp/home/Kiyoshi.Shiraishi/who.html
十河　清（そごう・きよし）
北里大学理学部物理学科教授。理学博士。東京大学理学部物理学科卒業。1981年東京大学大学院理学研究科博士課程修了。北里大学理学部物理学科助教授を経て現職。専門は数理物理学，統計力学。
主な著書は，『非線形物理学―カオス・ソリトン・パターン』（裳華房），『キーポイント確率統計』（共著，岩波書店），『新しい物性』（分担執筆，共立出版），『計算物理の世界』（共著，共立出版）。（10/10）

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 09:44:17.96

>>667 補足

http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/hisenkei/sogo/mathphys.pdf
数学と物理学の間北里大学　理学部　物理十河清（「1995 年度八王子数学ジュニア・セミナー夏の学校」における高校生向け講義レジュメ）
(抜粋)
1 はじめに－数学と物理学の関係
この章では数学と物理学の関係について簡単に議論する。一般にこれに対する答えは数学者と物理学者とで異なるであろう。
物理学の徒である筆者がこれだと考える回答は、次のディラックの意見である。英語のまま引用するので、読んでみて欲しい。
The steady progress of physics requires for its theoretical formulation a mathematics that gets continually more advanced.
This is only natural and to be expected.
What, however, was not expected by the scientific workers of the last century was the particular form that the line of advancement of the mathematics would take, namely, it was expected that the mathematics would get more and more complicated,
but rest on a permanent basis of axioms and definitions, while actually the modern physical developments have required a mathematics that continually shifts its foundations and gets more abstract.
Non-euclidean geometry and non-commutative algebra, which were at one time considered to be purely fictions of mind and pastimes for logical thinkers, have now been found to be very necessary for the description of general facts of the physical world.
It seems likely that this process of increasing abstraction will continue in the future and that advance in physics is to be associated with a continual modification and generalisation of the axioms at the base of the mathematics rather than with a logical development of any one mathematical scheme on a fixed foundation.
(P.A.M.Dirac: Quantised Singularities in the Electromagnetic Field, Proc.Roy.Soc.A133(1931)60)

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 09:46:40.08

>>668 つづき

この文章は、有名な「磁気単極子の理論」を展開した論文の冒頭の一節であるが、これを書いたときディ
ラックは29 才であった。この３年前の1928 年には「相対論的電子の理論」を書き、いわゆるディラック方程
式を提出している。これらの業績によって、1933 年にはノーベル物理学賞を受賞することになる。
さて確かに歴史を省みれば、ニュートン以来物理学は数学を応用して来たのではなくて、むしろ数学を作っ
て来たと見ることができる。こう言うと、数学者は直ぐに「整数論」や「群論」は物理学由来ではない、と反
論するかも知れない。しかし、口の悪い物理学者は「数学者は自分の作った理論の使い道を知らない」と言う
であろう。群論は今や物理学に必須であり、そのうちに整数論もそうなるかも知れない兆候がある。
なにはともあれ、この講義ではニュートン・ライプニッツの完成した「微分積分学」の中から、tan^-1 x を
題材にして、それが現代の物理学でどのように使われているかを紹介したいと思う。話題は単に微分積分に留
まらず、あらゆる数学に拡がっていくのであるが、その一端なりとも興味を持って頂ければ幸いである。次の
章ではtan^-1 x の関係する数学について、第3 章ではtan^-1 x の関係する物理学について議論する。最後の
章はまとめである。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 09:49:32.93

>>669 つづき

4 まとめ－いま数理物理学になにが起きているのか

この章では、前章で述べた「ソリトンの数理」をその一部として含む数理物理学の世界でいまなにが起きて
いるのかを簡単に紹介して、本講義のまとめに代えたいと思う。専門用語が説明無しに出て来るけれども、お
話と思って聞いてもらいたい。若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」とい
う考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。

前章で紹介した「ソリトン物理学」における非線形発展方程式（サイン・ゴルドン方程式）の厳密解は、数
理物理学における最近の成果のひとつである。ソリトン方程式が厳密に解くことができるのには、理由があ
る。この1960 年代後半に始まった「ソリトン方程式の数理の解明」をきっかけとして、いま数理物理学の世
界では、物理学と数学のいろいろな分野にわたってお互いに密接に関係しあいながら、ひとつの大きな「数
学」が形成されつつある。

この「数学」は、ソリトン理論、量子可積分系の理論、素粒子の弦理論、無限次元リー代数、代数幾何学、
無限次元の確率論などを巻き込んで、いま大きな渦のようなうねりを見せている。まだまだこの先になにが飛
び出してくるのか予想もつかない。そして、この新しい数学が全体としてどういう姿になるのかは、未だ研究
者の頭の中に漠然と想像されているにすぎないのである。

そんなわけで、この「未完の数学」のもっとも良い「応用」は、素粒子物理学の最終理論（Theory of
Everything）と目されている「超弦理論」がそのひとつであると考えられている。その他、固体物理学の分野
でも「量子ホール効果」や「高温超伝導」の理論において、その成果が得られつつある。物理学の解明が数学
の進展と手をたずさえて進んでいるのである。こうして、あたかも「ニュートン力学」の完成が同時に「微分
積分学」の成立でもあったように、物理学上の問題が新しい数学をいま生みつつあるとおもわれるのである。

(引用おわり)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 09:54:29.98

>>668-670 補足

”若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」という考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。”

と、”\さん「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」>>585”という話

同じなんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 10:14:22.26

>>671
\の「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」
というセリフはスレ主の間違いに気付かなかった私に対していったセリフだ。
だが、スレ主は間違いをしていたから、このセリフは今となっては意味はない。
このセリフの意味は、よい問題を見つけて解いていかないと数学は進歩しない、
ということにある。非可測な集合上の確率論を確立しようとすると連続体仮説の
問題が絡む。ちなみに、コンピュータのアルゴリズムの話をしていたが、
そのアルゴリズムは、特許とかの問題に進展することがあることは分かっているか。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:16:43.57

>>670 補足

「無限次元の確率論」が分からんが、下記
http://www.shinshu-u.ac.jp/faculty/science/quest/research/post-2.php
無限次元現象の解明を目指して現在の研究テーマ：無限次元空間上の発散定理信州大学理学部乙部厳己数学科

現在までの歴史上、数学のみならず諸科学まで含めて最も大きな影響を及ぼした定理は何かといえば、おそらく間違いなく微積分の基本定理だといえると思います。
微積分の基本定理とは（1 次元のときに）微分と積分がお互いに逆の演算であることを主張するものです。
これは領域の内部全体での関数の値の和が、その原始関数の境界での値の差に等しいことを主張し、関数の形を適切に与えることで領域の内部における情報を外周部だけで理解できることを示しています。
この事実は多次元でも一般に成り立っていることを示したのがガウスによる発散定理です。
このような関係は解析学の最も基礎をなすものであり、たとえば関数概念そのものを拡張するにはいくつかの方法が知られています（総称して超関数と呼びます）が、いずれにせよ根底にはこの事実があるといってよいと思います。
もちろんそれだけではなく、ベクトル解析など多くの応用の基礎となると同時に現代幾何学の基礎の一つといってもよいと思います。例えるならば、うまく関数を設置してから家の周りを一周すれば、知りたかった家の中の状況がわかるということを述べているわけです。
ところが、無限次元空間においては状況が全く異なります。最も簡単には、積分を定義するのに必要となる自然な「体積」が存在しません。
たとえば体積を量るために領域を微少な（一辺1/n の）立方体を考えると、無限次元空間では最初からその値が0になってしまい、「体積要素」が考えられません。また微分ではある点とそこから少しずらした点での関数の値の差を考えることが重要ですが、このような「ずらす」ということがなかなかうまくいきません。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:20:28.07

>>673 つづき

しかし1970 年代の末頃から、確率論のある種の研究の中でこれら両者はついに融合点を見いだし、測度論に基づいた無限次元空間上の完全な微積分の理論が完成します。
この理論は通常、この方向への最初の突破口を開いた数学者の名前をとってマリアヴァン解析と呼ばれています。
ところが、この理論は空間全体での部分積分の成立を示してはいますが、有限次元の場合とは異なり発散定理のような領域についてはなかなか困難がありました。
有限次元の場合には有界な集合上でまず理論が作られ、むしろ空間全体へ議論を拡張するときに困難があったのとは全く対照的です。
これは（ベクトルの大きさが自然に考えられる）自然な空間においては、有界閉集合がコンパクトと呼ばれるよい集合になる必要十分条件が有限次元であることであるということからくることですが、この事実が発散定理の定式化を極端に難しくします。
球に相当するような滑らかな領域ではすでに発散定理は定式化できていましたが、長方形のような形に相当する角のある領域についても発散定理をマリアヴァン解析の枠組みで完全に定式化することを目指しています。

研究領域：確率解析

20 世紀初頭にアインシュタインによってブラウン運動が理論的に取り扱われると、数学的な対象としてブラウン運動を定式化することも行われました。
それは[0, 1] 区間から連続関数全体が作る無限次元空間へのよい写像をフーリエ解析の手法で構成し、その空間に確率測度を導入するという方法であり、現在ではその測度はウィナー測度と呼ばれています。
いったんブラウン運動という基本的な対象が数学的に定式化できると、他の拡散過程も定式化できるか、という自然な問題が起こります。
ところがこれは困難であり、コルモゴロフは偏微分方程式の解に関する問題としてこれを定式化しようとしましたがあまり満足のいくところにまでは到達しませんでした。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:24:01.52

>>674 つづき

1942 年、当時内閣統計局におられた伊藤清先生は「Markoff 過程ヲ定メル微分方程式」という革命的な論文を発表され、そこでは現在に至っても未だ神秘さを失わないブラウン運動の軌道に関する積分（伊藤積分）の方法と同時に、確率微分方程式が定義・定式化され、もしその方程式がただ1 つの解を持つならば拡散過程であることが示されていました。
また、その中には後年伊藤公式と呼ばれるようになる伊藤過程を伊藤積分と通常の積分とに分解する公式もすでに現れていました。
しかしこの時点では係数に滑らかさを要請せざるを得ないなどの弱点もありました。
その後解を持つための条件は1950 年代後半ころに丸山議四郎・スコロホッドらによって完全に弱められました。
しかし、拡散過程の構成に関しては、田中洋・スコロホッドによる解析的研究でも完全な解決はできませんでした。
この問題は1960 年代後半にストゥルックとヴァラダンがこれら両者を統合する形で完全に解決しました。
ただし伊藤の一意性と呼ばれる概念との関係は、1970 年代初頭に渡辺信三・山田俊雄らによる確率微分方程式論の完成まで待つ必要がありました。
拡散過程は実はある種の微分作用素や偏微分方程式の背後での動きを捉えている（全体の「平均」をとるとそれらが現れる）のですが、関数解析的手法でしばしば必要になる楕円性という条件が一切仮定されていません。
これは大きな利点ですが、その分布や平均といった偏微分方程式の解が微分できるかどうかという問題は確率論の中では長く未解決のまま残されていました。
これを解決したのが1970年代後半のマリアヴァン解析で、その理論は渡辺信三・重川一郎らによって完成され、ヘルマンダーの準楕円問題やアティヤ・シンガーの指数定理など、解析学・幾何学の重大問題に単純明快な解を与えることに成功し確率論の金字塔となりました。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:26:56.63

>>675 つづき

ただし、確率微分方程式の解にマリアヴァン解析が適用できるのは、その解が強い解と呼ばれる場合、つまり解が雑音源から完全に再現できる場合に限られます。
田中洋によって最初に発見された弱い解、つまり解のランダム性が雑音源のランダム性を上回る場合にはこのようなことができません。
これら両者の違いは偏微分方程式で捉えられる構造では消えてしまうことがわかっていますが確率論としては重大な問題です。
さらに、この弱い解・強い解の概念は数理ファイナンスと呼ばれる市場のモデルを構築して解析する際にも重大な問題となります。
これは近年チレルソンによって導入されたノイズの概念をきっかけに、作用素環の理論などとも深い関わりを持って現在も活発に考えられている問題です。
一方現代では確率微分方程式に始まる伊藤解析、あるいはマリアヴァン解析まで込めて確率解析の数学的基礎理論はおおむね完成したと見なされており、数理ファイナンスと呼ばれる金融等に現れる問題や、厳密統計力学・場の量子論といった（これらは確率論創世期からの大きな問題意識でしたが）数理物理の諸問題が大きな関心です。
特に統計力学のそもそもの問題意識は、たとえば熱が伝わったり水が流れたりするような「巨視的」現象を、それらはすべて気体や水の「微視的」分子が運動することによって引き起こされるということを示し、何が生じているかを明らかにすることでした。
20 世紀末頃からようやくこうした問題を数学的に厳密な意味で取り扱うことができるようになり、流体力学極限と呼ばれています。
また、近年では場の理論の一種である共形場理論と呼ばれるものを確率論の枠組みで取り扱うことができるようになりつつあり、大変注目を集めているとともに、活発な研究が行われています。
いずれにせよ、戦時中の伊藤清先生の理論に始まる確率解析は偏微分方程式論・関数解析とともに発展しながら無限次元解析学という形をとり、現在でもまだ、その適用範囲をいわゆる伝統的な数学の枠の外にまで広げながら大いに発展しています。
(引用おわり)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:35:10.06

>>673 「無限次元の確率論」補足

会田茂樹先生は、以前にも紹介したと思うが
http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/paper/aida2.html
確率論と無限次元解析会田茂樹

ある状態空間(典型的なのは実数の集合)の中を時間とともにランダムに変動する量は、数学的には確率過程ととらえられ、解析されます。
ここでは、時間とともに連続的に変動する量を考えましょう。
そのとき、確率過程を考えることと非負の実数全体から状態空間への連続写像全体の空間上に確率測度を与えることは同値になります。
その代表的なものが、ブラウン運動であり、 Wiener測度です。他の連続な確率過程もブラウン運動をインプットとする確率微分方程式を解いて、得られることが多いと言えます。
実際、解析学の多くの問題が2階楕円型微分作用素に関係していますが、その生成する拡散半群の確率論的表示に確率微分方程式の解が用いられます。
このようにして、応用に現れる多くのランダムな量が確率微分方程式の解やその関数で表されることがわかり、ブラウン運動の汎関数の解析を行うことの重要性が見てとれます。
私の研究課題の一つは、このような無限次元解析の視点に立って、有限次元空間の幾何、解析、応用に現れる問題を研究することにあります。

この方面での具体的な研究テーマの一つは、拡散半群の熱核の上と下からの精細な評価、対数微分の評価です。
この分野は近年、楕円型作用素のみならず準楕円型作用素に対する解析も盛んに研究されており、興味深い新たな進展が期待される分野です。
また、ブラウン運動の汎関数の平均値の計算は、無限次元空間上の積分ですが、その効率的な数値計算の研究も数理ファイナンスへの応用も考慮して、アタックしたい問題の一つです。

ところで、これらの汎関数は通常、連続関数の位相に対して連続ではありません。
しかし、Terry Lyons教授により確率微分方程式の解は、インプットのブラウン運動そのものとその軌道の描く面積のふたつの量の汎関数としては連続な写像とみれるという結果が得られており(ラフパス解析と呼ばれています)、その応用にも関心を持っています。

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:38:44.39

>>677 つづき

これまで、述べてきたのは、有限次元空間上の問題(例えば有限次元空間上の拡散半群の問題) を無限次元解析を通して研究しようということですが、無限次元空間上で自然に現れる問題にも関心を持っており、現在の私の研究の中心はこちらにあると言えます。
例えば、場の量子論は無限個の調和振動子が相互作用している系の量子化にかかわるものと言えますが、そのハミルトニアンは必然的に無限次元空間上の微分作用素(もっと正確にはシュワルツ超関数の空間にガウス測度が与えられた確率空間上のシュレーディンガー型作用素)となります。
また、物理的な意味は薄れますが、リーマン多様体上の始点と終点が一致しているループの空間の上で関数に作用するOrnstein-Uhlenbeck作用素や微分形式に作用するHodge-Kodaira型の作用素を考えるのは幾何学的に興味深いことです。
略

1982年にEdward Witten教授がモース不等式をそのモース関数で変形して得られる超対称ハミルトニアン(Witten Laplacian) のスペクトルの準古典的挙動から導いたのは、準古典極限の顕著な応用と言えるでしょう。
今考えているのは、その無限次元版なわけで、ループ空間などの幾何学的な対象のときは、道のエネルギーがモース関数に相当します。
この場合でもモース不等式が準古典的アプローチで証明できるのでしょうか? 最近、コンパクトリー群上のpinned path spaceで少し結果が出始めましたが、遠方での評価が得られず、まだ解決には至っていません。

また、最近、場の量子論の典型的モデルである有限体積での$P(\phi)_2$型ハミルトニアン (現在の所、4次の多項式で、体積の大きさに制限が着いたものに限る) の最小固有値の準古典極限を決定することができました。
さらに第一固有値と第二固有値のギャップの漸近挙動がAgmon距離により決定されるのか、超対称ハミルトニアンの場合の研究などに引き続き取り組んでいます。

数学の研究では、あきらめないでねばり強く考えることと、一つの視点にとらわれない自由な物の見方が要求されます。意欲ある学生諸君を待っています。

(引用おわり)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:49:49.16

>>672
どうも。スレ主です。
粘着しているのは、Tさんかね？

”非可測な集合上の確率論”をやりたければ、大学へ行きなよ
このスレでは無理

あるいは、自分でスレ立てて、仲間を集めなよ
ともかく、２ちゃんねるの外で仲間を募って、自分でスレ立ててやんな・・・て、・・・出来ないんだろう・・・

>>673-676に信州大学理学部乙部厳己先生を引用したけど、すでにいろんな試みがあるよ
少し系統的に勉強することをお薦めします。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 10:57:28.80

>>679
おっちゃんです。上から目線のスレ主か。
スレ主の考え方が間違っているに気付いた。時枝の考え方は正しい。
ところで、正規部分群のことコピペしていたが、その定義は覚えたか？

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 10:59:31.77

>>662-663

前スレから引用。これは変わっていない
（逆に、”確率論の専門家”のご意見は、>>4時枝記事は数学セミナーに書く記事としては不成立）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/333
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
333 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/01(金) 22:38:42.98 ID:HfL8/83j [6/10]
>>33１つづき
追伸２
　時枝記事について、私が時枝解法の成立を認めるとしたら、その条件は、下記
１．arXivでも正規の論文でも良いが、大学以上の身分の確認できる教員から、時枝解法なり同等のルーマニア解法について、肯定的な論文が投稿されたとき
２．バリバリの数学科さんから、>>211についての証明が提示され、それを私が認めたとき
３．東北大の会田茂樹先生に限らないが>>128、しかるべき数学専門家に時枝解法の真贋を聞いて貰って、仮に成立するとして、その成立の説明に納得したとき。（予想は“ノー”の意見だろう）
４．\さん又はメンターさんなど、明らかに私よりレベルが上の人の時枝解法成立の説明を受け納得したとき。（当然疑問点は、質問させて頂く）
　素人談義は、もう十分だろう。時枝記事から、半年以上、このスレ以外で話題になった気配もなく、専門家の間でも何もないとすれば、時枝解法自身は否だろう。
　ただし、\さん指摘の>>201の問題提起としての視点は認めるとしても、時枝記事の趣旨は「時枝解法が成立するから、確率過程の定義の見直しが必要では？」という。
　前提の“時枝解法が成立するから”が覆ったら、記事自身も成り立たないだろうさ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 10:59:42.23

>>679
>>680の訂正：
間違っているに気付いた。 → 間違っている「こと」に気付いた。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:05:51.70

>>681
スレ主は記事の内容とは違うような問題を設定して、ここで出して議論させていた。
確率列を使うと時枝の考え方の正しさが説明出来る。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:15:04.53

>>681
思考停止宣言ｗ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 11:23:55.10

>>680
どうも。スレ主です。
なんだ、おっちゃんか！
お元気そうでなにより

>スレ主の考え方が間違っているに気付いた。時枝の考え方は正しい。

安心したよ（＾＾；
出会いのときからだよね、その言葉（＾＾；

で、最後にどんでん返し
最初問題を出してくれたんだ
で、その問題を解いた
実数Rの乗法群で、アーベルだから部分群はすべて正規部分群と流したら、おっちゃん延々証明を書いた

こういう経緯だったね

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt

次の問題はどう？　スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

519 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/02(月) 14:07:58.40 ID:Fvsu4fkg [1/5]

>２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる
この部分で既に証明として間違いになっているよ。直観的には自明で正解だが、一応スレ主も分かるように証明しよう。

566 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/03(火) 20:31:59.04 ID:KYB7IjhQ [3/4]
>>565
別にスレ主を擁護してるわけじゃねーよ。
でも>>558は幾らなんでもアホだろ。
そもそもの問題からしてくだらないのに、自明な部分は長文の証明で埋め尽くし、
肝心な部分(異なるH(*)が非可算無限個とれるところ)はいつまで経っても証明できてない上に、
スレ主の方が既に証明できちゃってるという本末転倒ぶり。出題者のくせに何やってんだよ。
恥さらしもいいとこだろ。
（引用おわり）

498の出題と519のコメントがおっちゃん。「２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる」が私
566がメンターさん

この部分は、自明で証明不要がメンターさんと私のセンス
が、おっちゃんは、”自明な部分は長文の証明で埋め尽くし”とやったんだったね
（分かるだろ？　当時どっちが正規部分群をより深く理解していたかが）

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:33:35.40

>>685
これね。確かに、直観的に成り立つと思って、自分で解いて確かめる前に出したよ。
スレ主の正規部分群の定義の覚え方が怪しいことから始まったよな。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:37:45.30

×スレ主の正規部分群の定義の覚え方が怪しい
○スレ主の正規部分群の定義の覚え方が間違ってる

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:49:22.95

>>685
いきなり昔話かよｗ
お前の過去はこうだった、だから今もこうだろうっていう、っていう良くある罵り。
レベルが低すぎ。幼稚園レベル

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:50:19.26

正規部分群を間違えて覚えてたのはガロアスレの主として致命傷。
そこからだよな、コピペ馬鹿のメッキが剥がれ始めたのは。
そして一年生の教科書すら勉強してないこともバレて今に至る。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 11:50:59.72

>>685 つづき

おっちゃんは、Tさんより理解力がありそうだから、少し議論しようか

初等的考察だが
時枝解法で
>>34より引用
・閉じた箱を100列に並べる.
・s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
・S^1～S^(k-l),S^(k+l)～SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
・D >= d(S^k) を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，

これ、”s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない”とか、”この仮定が正しい確率は99/100”が成り立つためには
決定番号の確率分布が問題となる

例えば、決定番号が１から１００までの数が一様分布してランダムに出現するような場合には、上記は正しい。
（例えば、１から１００まで札が外から見えない箱に入っていて、その札を順番に引くような場合）

一方、サイコロを考えると、100列に１回だけサイコロを振って、出た数字を決定番号にすると、決定番号の最大値は６で押さえられるから、上記の”1/100に過ぎない”とか”99/100”とは言えなくなるよ

勿論、サイコロを100回とかもっと多くの回数を振って、目の和の最大値を１００以上になるように改善すれば、事情は異なる
ともかく、最初の時枝解法に戻ると、決定番号の確率分布が、とても特異な分布になって、まっとうな確率計算ができないというのが、>>4の”確率論の専門家”のご意見であり、従来からの私の意見でもある
（可測か非可測かは、公理の選び方で異なるみたいだから、いまそれはおくとして）

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:51:09.16

pdf丸ごとコピペとは

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 11:52:21.26

基本勉強すら怠けてる馬鹿が頭良さげに見せるために小難しいコピペ連投って恥ずかしいにも程があるだろｗ

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 12:05:08.71

>>690
また性懲りもなく同じコメントを繰り返すんだなお前は。
記事の文脈を読みとれていないことを自分で証明しているようなもんだ。

------------
お前宛てではなく、他の人間を誤解させないために以下を書く

> ともかく、最初の時枝解法に戻ると、決定番号の確率分布が、とても特異な分布になって、まっとうな確率計算ができないというのが、>>4の”確率論の専門家”のご意見であり、従来からの私の意見でもある

非可測であるために確率分布が計算できないことは、分かりきったこと、である。
それをもって時枝記事が間違いだと主張するのは完全な筋違い。文脈が読めていない。

99/100は測度論的確率論で計算されたものではない。
そんなことは分かりきったうえで時枝は"確率は99/100"と書いている。
測度計算はできないけれど、最初に箱を選ぶ時点で100個中の1個を選ばなければ勝てるという"論理"がつむげる。
だから"確率"は99/100にしか見えない。そういう不思議を時枝は読者に伝えているのである。

時枝の間違いを指摘するためには戦略の"論理"が間違いであることを示さなくてはいけない
つまりどの箱を選んでも中身が当てられないことを示さなくてはいけない。
しかしそれは誰にも示されていない。よって時枝の記事の戦略は否定されていない。

戦略に論理破綻を見つけた方は俺に教えてほしい。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 12:20:40.30

>>686-689
どうも。スレ主です。
正規部分群の話に絡んでいたが、正確には共役変換の理解が浅かったんだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E
群作用としての共役

任意の 2 元 g, x ∈ G に対して

g . x = gxg?1

と定義すれば、G の G 上の群作用になる。この作用の軌道は共役類であり、与えられた元の固定部分群はその元の中心化群である[4]。

同様に、G のすべての部分集合からなる集合への、あるいは G のすべての部分群からなる集合への、G の群作用を

g . S = gSg?1,

と書くことで定義できる。

幾何学的解釈

弧状連結位相空間の基本群における共役類は自由ホモトピーのもとでの自由ループ（英語版）の同値類と考えることができる。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 12:29:55.20

>>685 補足

実数Rの乗法群ではなく、乗法群C^{×}＝C-{0}だったか
にしてもだ、通常の数の乗法は可換、つまりアーベル

それが分かっていて、というか、部分群も全てアーベルだってことは当たり前
だから、部分群はすべて、正規部分群だろう

非可換の場合のみ、正規部分群にならない部分群が存在する
それこそ、アーベル群の部分群はすべて正規部分群になることは、正規部分群の定義から直ちに導かれるだろう

それをわざわざ”長文の証明で埋め尽くし”ってところ
なんだかなー

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 12:48:54.51

>>693
どうも。スレ主です。
なんだよ、こっちがTさんかい

だれか、レスつけてやれよ。「Tさん正しいよ」って。そうすりゃ、安心するだろうさ

ところで、￥さんなどにはわかりきったことだろうが、世の中、ホワイトノイズ、熱雑音とか、ブラウン運動とか、ランダムな自然現象がある。数学には乱数列がある。そういうものから数列を作れば、一つ一つの箱は独立で他の箱の数から予想することはできない

時枝解法で、どんな数列でも解けるとなると、まさに「タテとホコ」の話になる

可測非可測は時枝記事の本質ではないと思うよ。本質は、数列のシッポの同値類から決定番号というおかしな確率分布になる数をつかって、"確率は99/100"をもっともらくしく見せたところにあると思う

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 12:59:11.63

>>696
> 可測非可測は時枝記事の本質ではないと思うよ。

非可測集合こそがポイントだ
可測なら記事にならない。測度計算して白黒ハッキリしてオシマイだ
なんでそんなことも分からないのかと思う

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 13:11:15.22

可測で無い関数族に積分擬きを定義するようなものだな

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 13:37:06.03

>>697-698
どうも。スレ主です。

>>338で、竹村彰通先生の”ゲーム論的確率論”を紹介したが、「測度論を前提としない確率論の体系としては，数学的な基礎として唯一成功をおさめていると考えられる．」と書かれているよ

また
>>190
可測非可測について
１．決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」ことが従う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。
２．そうやって、決定性公理から弱い形の選択公理（可算選択公理）が導かれ、Lebesgue測度を導入することができる（下記4-6節）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_article/-char/ja/ 決定性公理に関する最近までの諸結果について無限ゲームの理論田中尚夫数学 1977
とある

だから、可測非可測は必ずしも本質ではないと思う
公理の選び方に依存するから

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 13:52:21.67

>>699
記事は選択公理を仮定している。
なのになぜそれとは相容れない決定性公理を持ち出すのか？
結論が公理に依存するって？当たり前でしょそんなの。
別の公理系で話がしたいならハッキリそう宣言して勝手にやってくれ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 14:03:29.93

>>695
>通常の数の乗法は可換、つまりアーベル
4元数体というガロア理論(群論)より前に出て来て
よく使われる非可換な数の体系もあるが。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 14:46:05.87

>>699
最初に箱を選ぶ時点でn(n≧1)個中の1個を選ばない確率を p_n としよう。
すると、p_n＝1-1/n で、これは勝つ確率を表す。このようにして一般項が
定義される確率の列 {p_n} に対して、n→+∞ とすると、p_n→1である。
つまり、最初に箱を選ぶ時点で可算無限個中の1個を選ばない確率は1である。
これは記事に沿って可算無限個の箱から1つの箱を選んで、
選ぶ側が勝つか負けるかというゲームを考えたときの勝つ確率を表す。
だから、選択公理を仮定して考える上では、勝つ確率は0ではなく1である。
記事を理解出来れば、高校の極限の問題になる。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 14:49:40.37

>>700
逆だ
結論は公理に依存しない
時枝解法は不成立だと

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 14:52:12.27

>>701
複素数の乗法群で、通常の乗法を考えたときに
正規部分群以外の部分群が出てくるのか

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:01:16.16

>>704
そういう問いが意味がない。スレ主は物理のことを散々述べて来た。
物理では4元数体はよく使われる普通の数の体系になるから、知っている筈だが。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 15:02:49.64

>>702
まず、>>699で主張していることは、ある実数の部分集合が可測か非可測かは、確かに公理に依存する
しかし、測度論を前提としない確率論の体系があるし、決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」とできるとも。そこはなんとか成る部分だろうと

だが、時枝問題の数列のシッポの同値類から代表を選んで決定番号を得るプロセスは、不変だ
問題の本質は、ここ。決定番号の確率分布にあるよと

ところで、突然の「最初に箱を選ぶ時点でn(n≧1)個中の1個を選ばない確率を p_n としよう」ってのは？
何の意味？

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:07:33.95

>>704
群Gの部分群HがGの正規部分群であることを示すときは、
g∈G を任意に固定してHの元を取って gHg^{-1}＝H なること、
或いは、その定義と同値な命題を示すのが基本のやり方。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 15:11:30.04

>>705
なら、最初に4元数体で出題すれば良かったろう

ところで、群Gとその部分群Hで、g∈G、h∈H、として、アーベルならgh=hg。これから、gH=Hgが導かれる。
これが普通のアーベル群の部分群が正規部分群になることの証明だろう。どこにでも書いてある通りだろ。１行で終わり

なんで長文の証明になるのか理解できなかった・・・

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 15:12:46.45

>>707
かぶったか
だから証明は>>708のように１行だろう

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:17:25.30

間違いを認められない頑固なスレ主

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:17:49.55

最初に箱を選ぶ時点でn(n≧1)個中の1個を選ばないことと、
と最初に箱を選ぶ時点でn+1(n≧1)個中の1個を選ばないこと
との間は何も関係がない。つまり、p_n と p_{n+1} とは相異なる
有限な点からなる標本空間に対して定義される。0≦Σ_{n=1,…,+∞}p_n≦1
ではなく、0≦Σ_{n=1,…,+∞}p_n≦+∞ として考えることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:20:30.64

>>706
>>711はスレ主宛て。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:23:34.04

>>706
>>711の「有限な点」は「有限個の点」の間違い。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 15:46:08.21

>>706
>>711の
>最初に箱を選ぶ時点でn(n≧1)個中の1個を選ばないことと、
>と最初に箱を選ぶ時点でn+1(n≧1)個中の1個を選ばないこと
>との間は何も関係がない。つまり、p_n と p_{n+1} とは相異なる
>有限な点からなる標本空間に対して定義される。
の部分は
>i、jを任意の異なる自然数として、
>最初に箱を選ぶ時点でi個中の1個を選ばないことと、
>と最初に箱を選ぶ時点でj個中の1個を選ばないこと
>との間は何も関係がない。つまり、p_i と p_j とは相異なる
>有限個の点からなる標本空間に対して定義される。
と書くべきだったか。一見可測性が関係しているように見えるが、実は関係ない。
スレ主の方針(極限を取るだったか)で勝つ確率が1になることが示せる。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 17:06:46.98

>>706
> まず、>>699で主張していることは、ある実数の部分集合が可測か非可測かは、確かに公理に依存する
> しかし、測度論を前提としない確率論の体系があるし、決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」とできるとも。そこはなんとか成る部分だろうと

だからなんで決定性公理を持ち出すのか？って聞いてるんだけど。
記事では持ち出せないんだよ。選択公理を使ってるんだから。
矛盾する公理を同時に持ち出したらダメでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 17:13:11.95

>>706
> 測度論を前提としない確率論の体系がある

選択公理と両立できるなら是非論じてみてください。

> そこはなんとか成る部分だろうと

なんとか成るもクソもないです。（なんとか成る、ってなんなんだよ・・）
決定性公理を持ち出した時点であなたの話題は記事とは無関係です。
はっきり言って無茶苦茶です。

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 17:17:53.93

相変わらずフルボッコで草生えた

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 17:40:19.62

スレ主の>>706が無茶苦茶すぎるのでもう少し補足しておく

> だが、時枝問題の数列のシッポの同値類から代表を選んで決定番号を得るプロセスは、不変だ
> 問題の本質は、ここ。決定番号の確率分布にあるよと

代表系を選ぶところで選択公理が使われている。
そしてこのように作られた代表系の集合は非可算になる。
選択公理を仮定したからこそ時枝の話が紡げるのであって、
選択公理と相容れない決定性公理を持ち出すなど全くのナンセンス

それを理解したうえでもう一度>>706を読んでみてほしい。
俺が"無茶苦茶"と形容した理由がわかるだろう。
「なんとか成る」ってのはなんなんだ？と突っ込みを入れたくもなるだろう。

>>706
> まず、>>699で主張していることは、ある実数の部分集合が可測か非可測かは、確かに公理に依存する
> しかし、測度論を前提としない確率論の体系があるし、決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」とできるとも。
> そこはなんとか成る部分だろうと
>
> だが、時枝問題の数列のシッポの同値類から代表を選んで決定番号を得るプロセスは、不変だ
> 問題の本質は、ここ。決定番号の確率分布にあるよと

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:32:02.06

>>718
選択公理で、弱い選択公理（可算選択公理）がある
そして、決定性公理＋可算選択公理で、論理を組み立てることは可能だ
（>>190に書いたが、「決定性公理から弱い形の選択公理（可算選択公理）が導か」れるとあるよ）

だから、時枝問題で、本質を変えずに
>>32で、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が”有理数”を入れる.」とすれば
決定性公理＋可算選択公理で、非加算公理を回避することはできる

そして、実数から”有理数”に落としても、確率99/100辺りのロジックは変わらないだろう？
言いたいことはそういうこと

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:34:58.02

>>719 訂正

非加算公理を回避することはできる
　↓
非可算集合を回避することはできる

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:38:48.86

>>720 訂正の訂正

非加算公理を回避することはできる
　↓
非可算集合を回避することはできる
　↓
非可測集合を回避することはできる

ビールがまわってきた（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:44:16.50

元の>>32「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」で
決定性公理＋可算選択公理で、非可測集合を回避することができるかどうかだが、よく分からない（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/08/11(木) 18:51:21.11

>>719
> だから、時枝問題で、本質を変えずに
> >>32で、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が”有理数”を入れる.」とすれば
> 決定性公理＋可算選択公理で、非加算公理を回避することはできる

ああなるほど、Q^Nが可算だと言いたいわけねｗ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:55:06.60

>>714
おっちゃんの書いていることが、分からない

１．時枝の記事と、おっちゃんの”最初に箱を選ぶ時点でi個中の1個を選ばないこと”って、どんな関係があるのか
２．>>702「選択公理を仮定して考える上では、勝つ確率は0ではなく1である」と書いてあるが、時枝は>>34「正しい確率は99/100」と書いているよ？

なんか勘違いしてないか？

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/08/11(木) 18:58:55.62

>>723

>ああなるほど、Q^Nが可算だと言いたいわけねｗ

正確には、可算個の箱とそれに入れる可算個の有理数だから、決定性公理＋可算選択公理で扱えるよと