5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2015/04/24(金) 01:31:57.51

5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。

しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。

ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 18:15:59.84

>>616
カスなら死ね

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 19:50:00.38

>>615
>「解はあるが根号だけでは解が表示できない」
>という言葉の意味がわからない

そもそも
「解があれば根号で解が表示できる筈」
という主張の根拠がわからんが

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/25(木) 19:51:26.12

どうせ一般人は解が数として求まればいいんだから
根号に固執する必要ないだろう
なんで数値解析を嫌うのかわからん

精神異常なのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 04:16:59.46

雪江の青い本を参考に
4次方程式の解を根号で表したときの複雑さをガロア群の大きさで分類した

有理数係数の4次式 f(x) の有理数体上のガロア群を G とし
n = #G とする。

f(x) = 0 の解は...
n = 1 : 解は有理数。
n = 2 : 解は有理数か、平方根1個で表せる。
n = 3, 6 : 解の1つが有理数。他の3つは3次方程式の解の公式で解くので立方根の中に平方根が入る程度。
n = 4, 8 : 解は高々2重の平方根で表せる。
n = 12, 24 : 解は平方根の中に3次方程式の解の公式が入る式を3つ足したもの。唯一書く気が失せるレベル。

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/12(水) 18:47:16.93

>>544
英語のウルトラよりも
こっちの異って名付け方が好みだ

**Mad Chemist** · 2022/02/24(木) 20:03:36.80

こんな本が出てた。
早川書房　マリオ・リビオ著　「なぜこの方程式は解けないか？」
5次方程式が解けないことから群論まであれこれ書いてある。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 22:29:15.54

解いてみたという書き込みが無い。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 00:59:11.99

ようは加、減、乗、除、冪乗、冪根の他に新たな演算を用いれば一般の代数方程式の解の公式を表せるんじゃないかってことでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 22:51:56.09

>>624
その時点で「代数的」じゃなくなってるんだわ

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 18:09:37.31

拍子抜けするような簡単な方法で、五次方程式の代数的解法が出来そうなんですが
もし出来たら凄いことなのでしょうか？特許とか取れるでしょうか？
誰か教えてもらえませんか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 18:40:20.76

周囲の数学が解る人に見てもらった？

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 19:36:13.28

>>627
周りにそういう人は居ません。
自分としては非常に手応えを感じており、もしも上手くいった場合に
折角なら金銭的なメリットを得られないものかと、尋ねてみました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 20:31:32.43

時間の無駄。あなたがいくら「できた」と言ってみたところで、学術的には門前払い。

たまたま代数的に解ける特殊な5次方程式は存在するが、
一般の5次方程式に一般的に通用する代数的解法は存在しないことが証明済み。
このことに反する主張は、学術的には門前払い。

必然的に、あなたのやり方はどこかが間違っていることになるが、
どこが間違っているのかを指摘する義務すらなく、ひたすらに門前払いを食らう。
だって、代数的解法は存在しないことが証明済みだから。

学術的にはこういう塩対応になる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 20:33:16.85

ではどうすればいいか？

知らんがな。

親切な人なら、あなたのやり方のどこが間違っているのか
具体的に指摘してくれるかもしれんが、特許がどうこうとか色気を出してる時点で、
できるだけ秘匿にしておきたいという魂胆が丸見えなので、自分で自分の首を絞めている。

あと、このような古い話題では、「代数的解法がない」という内容が正しいことに
もはや疑いようがないので、そのような結果に反する主張が
特許として受理されることはないと思われる(特許庁の信頼に関わるので)。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/06(月) 22:33:06.24

>>630
確かにどうも勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/09(木) 03:37:50.64

どうしても三等分家と同じ空気をまとうよな。
両方ガロア理論が使えるだけあって。

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/14(火) 00:44:51.60

5次方程式に一般的な代数的解法が存在しない事はガロアの結果とは別に示されてたけど
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな…

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/28(日) 16:51:46.06

体K上の5次方程式がK上既約である場合、
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/30(火) 16:30:13.80

体Ｋが有限体の場合には、5次方程式のすべての解を代数的に？求める
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/30(火) 16:40:50.69

有限体の台数拡大は順海であったなー

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/30(火) 19:45:55.33

大きな有限体、たとえばｐがとても大きな素数たとえば千桁で、体がK=Z_pのとき、

二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。

さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。

5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/31(水) 00:37:55.49

平方剰余って知ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/31(水) 01:17:45.10

平方剰余だけだと体の中に平方根があるかどうかしかわからん。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/31(水) 01:20:41.24

>>639
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/31(水) 21:23:26.16

じゃあ、立方剰余、四乗剰余は知っている？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/01(木) 08:39:25.65

ヴェイユのゼータ関数について調べることを勧める

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/01(木) 09:21:16.17

まず平方剰余の相互法則から

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/01(木) 19:56:14.03

K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね

根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/03(土) 09:44:21.14

平方根だから（有限）体の中に根があるならば
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/03(土) 10:25:15.67

>>645
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/23(金) 17:05:42.74

部分体を持たない素体のなかの「距離」としては、自明なものしかないだろ。
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/28(水) 21:05:55.95

いくつかの例で多少実験してみたところ、
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/23(日) 16:56:19.73

Z/pZ 上のm次多項式f(x)を既約分解すれば、

1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/30(日) 16:21:07.12

要素の数が有限の体は、標数が素数ｐであって、
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。

つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/30(日) 19:18:04.57

素数は豊富さに欠けるということになるから、間違った主張である

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/08(火) 06:25:23.93

>>644
Abel方程式にはまだ執着しているようだ

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/20(火) 15:57:23.41

https://i.imgur.com/9OQ7o5g.jpg
https://i.imgur.com/auL6Smd.jpg
https://i.imgur.com/oCm47qO.jpg
https://i.imgur.com/kRu3kH0.jpg
https://i.imgur.com/4TKqdHP.jpg
https://i.imgur.com/VhvLhak.jpg
https://i.imgur.com/kfHpj76.jpg
https://i.imgur.com/YT0E4rZ.jpg
https://i.imgur.com/qjExLts.jpg
https://i.imgur.com/GUSPRLW.jpg
https://i.imgur.com/qurLBfF.jpg
https://i.imgur.com/0u2Zc4o.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:07:05.97

類等式

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:10:16.77

K=a⁻¹Ha、Hᵃ

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:10:45.25

KはHをaで変換したもの

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:25:09.67

自己共役部分群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:27:09.30

不変部分群⇔正規部分群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 17:28:22.75

H=a⁻¹Ha⇔aH=ℍa

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:03:21.20

G/K=Ka

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:03:36.74

Kは正規部分群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:04:50.00

Kに関する剰余群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:06:10.27

これほKが正規部分群でなければ成立しない

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:07:28.13

|G/K|=|G|/|K|=|G: K|

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:08:39.42

準同型写像

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:09:19.13

φ(ab)=φ(a)φ(b)

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:10:26.26

準同型写像が全単射ならば
同型写像となる

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:13:47.72

G≅G'

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:21:13.08

G/Kerf≅Imf

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:21:25.20

群準同型定理

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:22:52.07

G/Kerf=G/G⇒G/G≅e

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:24:03.71

G/Kerf=G/e≅G

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:32:45.60

正規部分群の縮小列を

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:33:09.84

正規鎖、、長さ

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:34:14.42

格部分群がGの正規部分群である必要は無い

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:35:08.98

剰余群列
G/G'

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:36:43.40

極大正規部分群の列

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:37:27.94

組成列

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:37:41.22

単純群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:42:06.39

Jordanヘルダーの定理

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:42:36.94

組成列の、長さは等しい

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:43:38.14

剰余群列の間に同型写像が存在する

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:44:49.35

全て可換群⇒可解列

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:45:25.76

可解群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:46:21.38

位数最小の非可解群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:46:44.51

A₅ 交代群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 19:47:30.54

Galoisの定理

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:07:57.89

直積G=ΠH

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:09:05.02

一意的に積に分解される

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:12:34.03

直可約

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:12:49.87

直既約

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:13:42.88

直既約分解

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:14:02.38

Remak分解

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:15:03.97

完全可約

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:48:57.47

環と体は2つの二項演算
和と積
⊗と⊕

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:50:46.95

加法に関して群、

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:51:13.74

乗法に関して半群

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:52:59.26

商は定義されない

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:53:13.31

それ以外はOK

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:54:46.66

分配律が成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:56:03.41

a(b+c)、(a+b)c

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:56:47.41

0は0とは限らない

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:59:24.17

単位的環

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 20:59:35.56

可換環

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:00:26.23

簡約律が成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:00:39.38

零因子を持たない

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:01:28.80

整域

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:03:00.27

有理整数環は整域

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:03:53.46

斜体

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:04:09.44

非可換体

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/05(火) 21:04:41.54

全ての体は整域

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/15(金) 01:28:39.64

やっぱり、５次方程式は普通に係数比較をして、代数的に解けるんじゃないかと思えるんですよね。
4次以下の場合と、条件を同じにできると思うんですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/15(金) 13:28:32.91

ネットをちょっと読んだくらいで分かった気になるんじゃなく
一度くらいはこれをメインに扱ったちゃんとした教科書読んだ方がいいぞ
ラグランジュの考えたなぜ3次方程式や4次方程式は解けるのか?
ラグランジュの分解式みたいな話から読んだ方が多分いい

ガロア理論使うと5次以上の一般解がない証明はかなり短いんだけど
具体的な計算とはかけ離れた証明で一般人置いてけぼりだからな
5次対称群には正規部分群の系列がないみたいな証明

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/15(金) 22:49:14.92

「普通に係数比較をして、代数的に解けるん」
だったら誰かやってるはずだろ、という
考えに至らないとか
アーベルによる不可能性の証明があるにも関わらず
「それでも俺にはできそうな気がする」
という信念が何処から来るのかが気になる。
が、これはそれほど珍しいことではなく
「角の三等分家」という類型として知られており
世の中には一定数いるタイプ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/15(金) 23:04:55.53

ガロア理論は以下のことを含んでいる。
・5次以上の一般代数方程式が代数的には解けないことの証明。

・一般的には解けなくても、個々の方程式は解ける場合もある
その違いはどこから来るか？という問題に対して
「方程式のガロア群」が定義されて、それが
可解群であるか非可解群であるかによって定まる
という解答を与える。

・ガロア群が可解群であり、その根への作用が
分かっている場合には、べき根解法に対して
透明な計算法を提供する。

というわけで、この天才の仕事によって
話はほぼ終わっている。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/16(土) 04:57:44.68

係数比較で解いていくのは4次以下と同じで普通なのですが、最初に5つの解を表す方法が普通ではないのです（多分）。
それは5つよりも多くの置換パターンを表現しており、例えば、5種類の置換しか表現しないもの（5つの数の巡回置換とか）から
始めると重複ができて120通りの置換が網羅できないのですが、一手目のパターンが多ければ力業で網羅できる訳です。
５＊４＊３＊２だと1つでも重複すればダメですが、２０＊４＊３＊２とかなら多少の重複があっても120通りをすべて表現
できるという感じです。