X

集合論について

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
1１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ
296１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 08:07:27.46
間違えました。健全性でした。
2014/05/01(木) 21:07:07.92
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。
298１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/01(木) 22:24:07.38
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？
2014/05/01(木) 23:00:16.90
集合論の公理が独立？
2014/05/02(金) 01:05:46.05
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は〜というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。
301１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 01:53:49.43
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
302１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 09:17:05.88
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
2014/05/02(金) 12:34:04.31
独りよがりの暴走が始まる
2014/05/02(金) 12:55:03.74
哲厨はこれだから
305１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 12:58:00.50
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー
2014/05/02(金) 13:11:47.00
数学を学ばないやつってある意味無敵
307１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/02(金) 13:32:33.95
なんかウヨウヨわいてきたな
2014/05/02(金) 14:29:42.87
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1329138054/118
2014/05/02(金) 15:56:03.76
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない
2014/05/02(金) 21:31:12.78
＞公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。
2014/05/02(金) 21:32:44.59
＞ACを一見しただけで、ZFからはそれ
＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)
312１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 08:17:04.64
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？
2014/05/06(火) 11:51:04.33
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？
314１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 17:59:38.53
>>313
ゆっくり言ってくれる？
2014/05/06(火) 21:02:01.43
>>314
日本語はまだ苦手なの？
2014/05/06(火) 21:42:40.15
>>314
L-S-下降定理:
　言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
　濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
　（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。
317１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:12:52.18
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。
318１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/06(火) 22:21:02.71
あ、ZF について言えばね。
319１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/07(水) 23:53:49.21
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ
320１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:45:18.95
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ（教科書には
そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。
321１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/08(木) 12:56:17.36
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？
2014/05/08(木) 20:00:37.74
集合論の言語は有限文字しかないから
論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。
2014/05/08(木) 20:02:56.41
というか
「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。
324１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 12:19:33.56
>>322
それってV=Lを仮定した議論じゃない？
2014/05/10(土) 12:29:46.04
完全性定理の証明はV=Lを仮定していると言いたいの？
326１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/10(土) 13:59:23.54
なんとまた、香ばしい話の展開だ。
327１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 18:51:54.49
>>298 >>300
遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが（集合存在について）禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの？ｗ
328１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 21:44:07.11
>>327
> 禁止的公理だ。

「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。

> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である

数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。
329１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 22:03:57.17
>「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか？
2014/05/19(月) 22:30:20.09
数学村では定義がなされない自分用語を用いた質問を繰り返すと相手にされなくなる
2014/05/19(月) 23:07:50.97
正則性公理を使って ¬∃X∀x[x∈X] が証明されるから,
"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。
332１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/19(月) 23:18:31.10
>>330
>任意の公理は（お前の言う）禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ（きみか？）は、定義がわかってるはずだよｗ
2014/05/19(月) 23:28:21.81
脳内変換してくれる相手がたまたまいることに感謝しなさい。
2014/05/20(火) 06:49:17.17
例えば選択公理を禁止的公理の形に書きなおしてみてくれたまえ
2014/05/20(火) 07:59:09.38
選択公理は整列できない集合が存在しえないと言ってるんだから
禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。

それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。
336334
垢版 |
2014/05/20(火) 08:58:02.97
任意の公理は禁止的には非禁止的にも表現できる

という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。
337１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 09:49:10.26
流れからはずれるのですが、
正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか？
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。
2014/05/20(火) 16:15:54.35
まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
2014/05/20(火) 16:34:29.17
>> 334
任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(∏_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。
2014/05/20(火) 16:42:19.35
>>339
馬鹿？
2014/05/20(火) 16:51:19.75
（´・ω・`）
2014/05/20(火) 16:52:07.48
(｀・ω・´)
343１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/20(火) 17:35:35.32
>まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
>>335によって粉砕された模様
2014/05/21(水) 01:35:15.00
>>343
~は存在しないという形ならなんでもいいんだ？
2014/05/21(水) 07:45:18.33
それなら「P(A)を満たすAが存在する」形式は「¬P(A)を満たすAが存在しない」と書き換えて終わる
346１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 09:12:28.34
>>345
はあ？
2014/05/21(水) 09:32:44.77
（´・ω・`）
2014/05/21(水) 10:45:12.28
>>337
∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します
349１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:12:37.03
なるほど。
∃X∀x[x∈X]で存在保証されたXをAとおいて、
B={x∈A|not(x∈x)}を考えれば不合理に陥りますね。
空集合の反対があってもよいのにと思ったのですが、
うまくいかないものですね。なぜでしょうか？ｗ
350１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:36:40.54
空集合の逆なら、∃X∀x[¬(X∈x)]なのでは？
これならどうなる？
351１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/21(水) 11:39:52.05
それは全然だめ。対公理に反する
2014/05/21(水) 11:39:57.73
X∈{X}

アンタ大丈夫か？
2014/05/21(水) 15:13:19.92
こんな超基本的なことも自分で分からないまま、
「証明は奴隷の仕事。俺は哲学徒だから物事を俯瞰的に観るのだ」などとほざいてんだろうなあ
2014/05/23(金) 18:48:04.97
奴は自分の脳内妄想の奴隷だってことを察してあげてｗｗｗ
2014/05/23(金) 23:44:33.55
皆のコメをぼーっと見てたんだけど,博士課程以上のトークしている人も居れば,
集合論の話をブルーバックス程度で聞きかじった程度の知識で無知さらけ出してる人も居るようですね。
2014/05/24(土) 01:54:55.65
訳知り顔でしてないで、とっとと勉強始めたら？>>244=355
2014/05/24(土) 01:56:39.61
ID表示されてないのに何で同一人物って分かるの？
2014/05/24(土) 01:57:22.45
特徴的な句読点の使い方
2014/05/24(土) 20:03:39.03
＞博士課程以上のトークしている人も居れば
居る？居ないと思うけど。
360１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/24(土) 21:05:36.57
>>348
> 分出公理からラッセル集合が作れる

ラッセル集合って真のクラスであって集合の元にはならないから、
分出公理からラッセル集合は作れないと思うのだが
2014/05/25(日) 13:36:36.03
>>351-352
よくわからんが X∈{X} が成り立たないような X が存在してほしい、ってことなんじゃないの？
そのためには対集合を作る操作に制限をかけざるを得ないが。
2014/05/25(日) 13:59:00.40
>>360
>>349にある通り作れる
2014/05/25(日) 15:09:49.53
>>362
分出公理と内包公理をごっちゃにしてないか
2014/05/25(日) 15:14:39.07
わざわざ
＞∃X∀x[x∈X] を公理に加え
と書くくらいなのだから
>>337は、Xをクラスではなく集合のつもりで書いてあるのでは？
365360
垢版 |
2014/05/25(日) 15:25:33.52
ああ、理解した。色々誤解してたすまん。
2014/05/25(日) 19:01:26.30
>>363=>>360なの？
367１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 20:51:09.33
>359
>>311はその道のプロ。
その他はだいたいふつうの愛好家。
集合論を学んでいるｗことを特別なことのように思っている若い学生が少し居るｗ
368359
垢版 |
2014/05/25(日) 22:04:52.83
まあ>>311は俺が書いた訳なんだけど。

平均的な数学研究者よりは詳しいかもしれないけど
集合論の博士課程レベルの話じゃないよ。
学部には普通は集合論の講義は無いけど、
Kunen一冊読めば分かるレベルだからせいぜい修士初年級のレベル。
369１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/25(日) 22:41:21.77
>>311 の一連のコメントがよいのは全体にopenな感じだからかな？
詳しいかどうかよりも。でもニュートンはいらんかったかな？ｗ
2014/05/26(月) 01:19:31.61
やっぱりKunenは有名なんだな
カナモリの巨大基数挑戦したいしKunenも挑戦したい
2014/05/26(月) 09:52:15.77
今出てる版は日本語版より良いの？
372１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/26(月) 10:05:42.00
KunenとAwodeyではどっちを勉強するのがよいでしょうか
2014/05/27(火) 00:26:05.59
いや分野違うし

ほとんど数学と文学どっちを勉強するのが良いですか？って質問に近いぞ
2014/05/27(火) 00:31:05.98
>>371
新版は、
・モデル理論などの或る程度の知識を前提としているので
その分self-containedではない
・その代わり旧版よりかなり議論が整理されている。
・旧版出版後に分かって来た事実についてかなりupdateされている。
・演習問題が、旧版では章末に纏められていたけど新版では本文の間に挿入されている
・旧版の演習問題は、訳者が解答集を作成している
375１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 10:46:25.65
>>373
そんなに違わんやろｗ
英語と独語のどっち、くらいの違いだがや
答えてやれよ
376１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/27(火) 11:19:46.06
オレ的には躊躇なくKunen。Awodeyは時間を無駄にする可能性が大いにある。
377１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/06(水) 10:27:46.77
{}
378１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/07(木) 20:18:01.68
そんなつまんないことよりも、こっちこっち↓笑える休憩タイム。


【天才霊能者八意先生に関するサイト】

天才霊能者の八意先生は埼玉県八潮市生まれ育ちの２１歳です。
悩んだ時にはまず八意先生に相談しましょう。
以下のサイトを読み終わったら、
腹を抱えて大笑いしてしまうことをお約束します。

http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/e/e6f2fcf0abd101f4cb6e50399421197d
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/9bb4322846693ae17f0b6080edca7dd1
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/aab06d5a40edbe719a91303f8cd9be11
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/ae90214bf06a9430fcfabfde25b2141f
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1/c/677e5914e5ebf50fffbd0f963732410b
http://www.reinou.jp/bai.html
http://www.reinou.jp/rei.html
http://www.reinou.jp/warashi.html

http://www.reinou.jp
http://blog.goo.ne.jp/nichikon1

八意先生が口にしたことは絶対に起こりませんｗ
でも、人生の悩みなんて、八意先生が指ぱっちんで解決してくれます。

一応、コメントも含めてすべて読んでみてください。
☆コメントの書き込みも大歓迎です。☆
379１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 17:21:24.81
大平さんの『関数のはなし』を読んでいたら、
その昔、関数とは1対1または多対１の因果関係を指すとはかぎらず、
何価関数なんて言葉もあったそうで、現在の意味での関数は写像と
読んでいたということが書いてありました。

しかし集合論の発展によって、従来のそうした概念は棄てられ、
現在の意味での関数という概念になったということが書いてあります。

詳しいことはその本では触れていません。この経緯について簡単に
解説してくださったり、その点について詳しく書かれている集合論の
著書をご存知でしたら、ぜひとも教えていただきたいです。
2014/09/11(木) 17:22:22.02
>>379
失礼。大村平らさんね。村を脱字してしまった。
2014/09/11(木) 19:14:28.83
ディリクレの定義だね（別の教科書で間接的に知ったから詳しくはわからないけど
どうもいろんな数学者ごとの類似の概念がいくつも混在していた時期があったらしい
382１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/09/11(木) 21:35:24.64
>>379
へーッ。昔の関数概念の方が自然で好きだな。
2014/09/11(木) 21:36:59.00
>>380
大村たいら氏じゃなくて大村ひとし氏だよ。
2014/09/11(木) 22:51:45.89
＞何価関数なんて言葉もあったそうで
いや今でもあるけど……

いまでも数理論理の専門家以外は、（つまり代数や幾何や解析の専門家は）
一意に値が決まることよりも「関数」の代数的な性質が
「自然」で数学的本質をよく表していることの方を重要視する
2014/09/12(金) 01:25:59.99
代数的な性質？
位相的の間違いではなくて？
2014/09/17(水) 21:13:23.49
>>385
代数だと、多価関数を考えるよりも、
複数の一価価値どうしの共役性の話に
してしまうような気がする。
解析では、関数は局所で定義されるものだから、
大域で眺めると自然に多価性が出てくる。
2014/09/20(土) 03:45:48.88
『数学基礎論へのいざない (数学基礎論シリーズ)』を読んでたら、初っぱなから
「p→q はもっとも日常的用法から『剥離』しているように見える」とか出てきてうんざりした。
388384
垢版 |
2014/09/20(土) 06:43:47.49
確かに位相的の方が良さそうですね
じゃあそれで
2014/09/20(土) 12:31:26.36
>387
「ならば」という言葉を対応付けるのが間違っているのにな。
「pの時はqになる」とか他の言葉を考えないのかね。
（『は』による叙述範囲の限定）
2014/09/20(土) 14:11:54.63
叙述範囲に入ってない場合はどうなるか、
真偽値不定なのかデフォルトで真なのかという問題じゃないの？
日常言語学派的な語用論的説明が一番分かりやすいと思う

>>387
まあまあ良い本だけど文章は正直上手くないよね
2014/11/11(火) 19:16:07.95
著者は言語障害か
脳味噌に欠陥があるな
392１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/08/27(木) 15:58:58.49ID:yi4FuQWD
集合論って活用できる範囲や事柄は
具体的にどういったところが挙げられますかね？

ちなみ自分は経済哲学の分野で必要で勉強し活用していました。
応用範囲について詳しい方いたら教えてくださいな。
2015/08/27(木) 21:34:32.10ID:jQ+eKs+3
集合なんて数学の全範囲で使ってるだろ
2015/08/27(木) 22:27:20.76ID:8R0TBFv+
経済学でいうところの集合論というのは、数学では普通、点集合論とか位相空間論と呼ばれるもののことだと思う
大昔、点集合論は（純粋）集合論の一分野とされていた
どちらにせよ、数学の全範囲で使われるんだけど
2015/08/27(木) 23:59:14.53ID:8R0TBFv+
全範囲は言い過ぎか
群論・環論で位相抜きの議論はいくらでもあるし
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
5ちゃんねるの広告が気に入らない場合は、こちらをクリックしてください。
ニューススポーツなんでも実況