ベクトル束ってなんの役に立つの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 11:41:32.51

なんでこんなものを考えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 13:25:05.80

数学が何の役に立つの？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731158219/

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 13:25:21.32

ガロア理論って何の役に立つの？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1727131300/

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 13:25:40.71

現代数学って結局役に立たないじゃん
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1533288181/

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 13:25:52.66

p進数ってなんの役にたつの？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1705719090/

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 14:21:28.16

>>3
そういうM5XnspsE君の仕事は？

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/09(月) 15:03:35.98

特性類

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/13(金) 19:06:15.79

多変数関数論

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/13(金) 20:51:53.84

>>1
あるからだよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/14(土) 09:11:00.53

>>1
接線とか微分系式とかテンソルとかデヴァイザーとかいらないか

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/17(火) 08:22:37.11

束値微分形式

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/19(木) 21:06:46.14

束凸性

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/21(土) 19:53:15.28

高校生にline bundleについて質問された

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/21(土) 22:31:03.81

spray

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/22(日) 22:01:56.58

ベクトル束は高校生でも知っている

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/26(木) 00:36:09.33

保形形式をベクトル束の切断とみなす

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/31(火) 07:00:19.73

「概保型形式」というものがあれば
葉層構造の「切断」のようなものではないか

**１３２人目の素数さん** · 2024/12/31(火) 11:31:00.64

K理論の拡張が非常に有用らしい

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/02(木) 19:24:33.55

一変数代数函数論の一般化に役立つ

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/03(金) 07:22:21.71

岡の原理の定式化にも

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/03(金) 17:19:28.00

接束が最も重要な例

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/11(土) 21:26:34.48

標準束も

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 06:57:29.95

多様体上の解析と幾何で絶対に必要

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 11:44:36.41

なんで多様体上で解析せなあかんの？

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 11:48:43.82

論文書けるから

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 13:02:25.43

解析学者は難しい式を簡単な空間上で考えるが
幾何学者は難しい空間上で簡単な式を考える
一長一短であろうか

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 16:41:02.18

束になってかかってこい

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 16:41:54.96

スカラー束

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/21(火) 16:42:10.96

テンソル束

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 00:21:24.07

物理学では色々な量がベクトル束の切断として定式化される。
正確には主G束を導入することで対称性を定式化する。主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、コホモロジー長完全列に現れる特性類を用いて対称性構造の一意性や存在性に関する分析ができる。さらに主G束に接続を導入することでさまざまなG不変な微分方程式を同伴束に定式化できるし、切断をLpやソボレフ、ヘルダーにすれば通常の偏微分方程式論を展開できる。方程式の解のなす空間を対称性によって割るとモジュライ空間になり、この空間のトポロジーを調べると、もとの多様体の解析的構造に関する情報が推測できる。成果としてはリッチフローの方程式を使って幾何化予想を解いたり、ヤンミルズ方程式を使ってドナルドソンの定理を示したり。

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 08:22:13.14

> 主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、
　それ分割原理(Splitting principle)のこと？
https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_principle

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 08:45:09.61

>>33
1次の乗法的コサイクルの同値類が束

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 11:46:08.67

>>33
主G束での変換関数についてのg_ab g_bc=g_abは{g_ab}が層コホモロジーのKerδの元なことと同じ。
Imδで割るのは複数の変換関数が同じ束を定める条件式が出るから。

そもそも層コホモロジーのモチベーションって貼り合わせ方を分類することだから。
だから複素幾何では正則線束を調べるためにピカール群使ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 11:47:05.32

g_ab g_bc=g_acだ

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/22(水) 12:04:14.48

光゜

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/23(木) 08:14:43.34

光゜ると
ある場ねえぜ

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/23(木) 08:33:34.64

寝論背減り

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/23(木) 08:42:35.67

>>34-35
これのことか？

バーコフ・グロタンディークの定理
https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%E2%80%93Grothendieck_theorem

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/23(木) 08:47:39.47

リーマン球面上の正則ベクトル束に限る

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/23(木) 11:38:30.86

>>40
「主束層コホモロジー」
でググれば出てくる
Wikiには無いんじゃない？nLabには書いてあった気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/24(金) 06:38:08.48

「光゜る」はググっても出てこない

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/24(金) 22:47:13.51

ベクトル束と言えば特性類

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/25(土) 06:53:28.69

Chern-Weil

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/25(土) 10:18:34.64

Xをスキームとして、準連接次数付きOX代数の層Rの相対Specをconeと呼び、特にRが有限階数局所自由層Eの双対によって生成される対称代数であるときにベクトル束と呼ぶ
つまりスキームに対して次数付き代数が対応することが便利

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/25(土) 11:43:16.26

有限階数局所自由層をベクトル束と呼んでも
かまわないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/25(土) 12:31:53.30

次数付きなので乗法群スキームの作用が入るとか、射影バンドルはSpecをProjに置き換えるだけとか、導来圏だとconeの方が扱いやすいとか

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/25(土) 14:31:55.48

磁束

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/26(日) 02:55:14.48

Gauss-Bonnetの定理の一般化ができる

**１３２人目の素数さん** · 2025/01/26(日) 22:26:57.19

prolongation

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/09(日) 05:35:14.88

束凸性は
いろいろ役に立つ

**１３２人目の素数さん** · 2025/03/07(金) 11:50:09.76

上空移行の原理が発端とも考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2025/03/07(金) 22:27:26.27

消滅定理から埋め込み定理へ